Supposons que la racine Xi soit racine triple ; on aura

(^) Cette démonstration est due k M. Koenigs.

Nous nous sommes d'ailleurs servi dans l'exposition de cette théorie d'un excellent mémoire publié par M. Niewenglowski dans la Revue de Mathématiques Spéciales, tome I, page 285.

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alors

A"(xo = 0,

c'est-à-dire, en vertu de l'expression précédente,

Ai(a-+ Xifli)-}- A((a' -hXia()4-A';(a"-h Xia;)H = 0.

Désignons par x, y, z et x', ?/', z' les coordonnées des deux ombilics : on aura

/*(m, V, lu) H- Xi/'i(m, V, iv) = {ux-i- vy -h ivz){ux' -\- vy' -f- wz') ; on en tire

a -\- ittyX = xx\ a! -\- Xia', = yy\ a!' -\-lid[ = zz',

%b^\b^)=yz'-^zy\ 'l{b'-{-k^b[)=zx!-\-xz', '^[b"-i-\b'[)=xy'-\-yx' , et la condition précédente devient k,xx' +k[yy'^k[zz'+^,[yz'+zy')+^[[zx' -^-xz')+W,[xy' +yx') =0 ;

elle exprime que les deux ombilics sont conjugués par rapport à la conique (Ci).

Or la droite qui joint ces deux points P et Q est tangente au même point M à toutes les coniques du faisceau, en particulier à la conique (Ci) ; donc l'un des points P ou Q se confond avec le point M.

Dans le cas où /(w, u, w) -h't}^ifi{u^ v, w) est carré parfait, à la racine Xi correspond un point double {x, y, z) ; la relation qui précède s'écrit

Aia:2 -\- A(y-2 -i- Ajz^ -h 2Biî/z -{- ^B[zx -h ^B'[xy = 0 ;

ce point double est situé sur la conique (Ci).

Avant de passer à la discussion de l'équation (2), il nous reste à établir les théorèmes suivants au sujet de la réalité des ombilics.

209. Théorème. — A une racine réelle de l'équation en X correspondent ou deux ombilics réels^ ou deux ombilics imaginaires conjugués.

Nous supposons bien entendu réels les coefficients des équations des deux coniques.

Comme X est réel, f{u, v, iu)-\-'k/'i{u^ u, iv) est décompo-

sable en une somme algébrique de deux carrés à coefficients réels. Si ces deux carrés sont affectés de coefficients de signes contraires, V4-/i se décompose en un produit de deux facteurs à coefficients réels. Si cesdeux carrés sont affectés de coefficients de même signe , /*-!- X/", se décompose en un produit de deux facteurs dont les coefficients sont imaginaires conjugués ; les deux ombilics correspondant à ces facteurs sont également imaginaires conjugués, mais la droite qui les joint est réelle. On peut donc dire qu'à une racine réelle de l'équation en X correspond une droite réelle ayant même pôle par rapport aux deux coniques.

210. Théorème. — A une racine imaginaire de l'équation en X correspondent deux ombilics imaginaires non conjugués^ et la droite qui les joint est imaginaire.

Soit a -h pi la racine imaginaire ; si l'équation

représentait deux points réels] ou imaginaires conjugués, on aurait

/-+ (a + ^i)f, ~ (Y + 80(F + sQ^), (^=±\)

P et Q étant des fonctions linéaires à coefficients réels. On en déduirait

et l'on voit aisément que f et fi auraient leurs coefficients proportionnels.

On aura donc

/•-+-(«+ ?i)f, = (P -H fQ)(P' -4- iQ') et

f^{.-?i)n = {P-iQ){V'-iQ').

On voit de plus que la droite qui joint les ombilics p4-iQ = 0 et P'-hiQ' = 0 est imaginaire, car si elle était réelle ses coordonnées annuleraient P, Q, P', Q'; elle coïnciderait avec la droite joignant les ombilics imaginaires conju-

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gués, ce qui est impossible en vertu du théorème 207, puisque la racine a -t- pi est simple.

Donc à une racine imaginaire de Téquation en X correspond une droite imaginaire ayant même pôle par rapport aux deux coniques.