CHAPITRE XIII
COORDONNÉES TRILATÈRES
225. Considérons trois droites formant un triangle et ayant pour équations
X = a^x -h biy -h CyZ = 0, \
Y = a^x-h hy -h c^z = 0, > (1)
avec la condition
«1 bi Cl
Nous allons démontrer que Téquation d'une courbe quelconque peut s'exprimer en égalant à zéro une fonction homogène de X, Y et Z.
En effet, désignons par Aj, A2, A3, Bi,. . . C3 les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement du déterminant D ; des équations (1) on tire
Dx = AiXH-AjY-hAaZ,
Dy ^BiX + B^Y-hBaZ, } (2)
D;: = CiX + C^Y -+- C3Z.
Dès lors si l'équation d'une courbe est
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en remplaçant dans cette équation x, y, z par leurs valeurs(2),
l'équation devient
/'(AjX-hAoY+AgZ, BiX+BoY + BaZ, C1X4-C2Y-+-C3Z) = 0.
Réciproquement, toute équation de la forme o(X, Y, Z) = 0 peut s'exprimer en fonction de a?, ?/, z en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs (1); on obtient
c^{aix -h b^y -^ CiZ, azX -{- b2y -i- c^z, a^x -h à^y -\- c-^z) = 0.
Toutes ces substitutions étant linéaires, les équations transformées conservent le môme degré.
Ainsi l'équation d'une droite pourra s'écrire
aX-H?Y + YZ = 0; l'équation d'une conique,
aX^ + a'r H- a"Z2 + 2?YZ -+- 2^'ZX+ 2P"XY = 0,
X, Y, Z désignant toujours des fonctions linéaires de x, y, z qui, égalées à zéro, représentent trois droites formant triangle.
226. Supposons que dans les relations (i) on remplace x, y, z par les coordonnées homogènes d'un point M du plan; X, Y, Z prennent alors des valeurs déterminées qu'on appelle les coordonnées trilatères du point M.
On voit ainsi que tout point du plan a des coordonnées trilatères déiinies à un facteur constant près.
Réciproquement, étant données les coordonnées trilatères d'un point, les formules (2) déterminent à un facteur près les coordonnées homogènes de ce point.
Il résulte de là qu'un point est bien défini par ses coordonnées trilatères, et les considérations précédentes montrent que toute relation entre les coordonnées trilatères d'un point est la condition pour que ce point soit sur une courbe.
Le triangle dont les cotés sont représentés par les équations (1) est appelé le triangle de référence.
