B'B"— AB = 6A
On aura donc
et par suite l'équation en jj. s'écrira
a2 + lx^Q^ -+- [jL^A^e + li.^^l = 0.
Si l'on remplace dans cette équation [x par — • t ^ on ob-
tient l'équation en X; par conséquent les racines des deux équations sont liées par la relation
Il résulte de là que les valeurs de [^ sont réelles ou imaginaires en môme temps que les valeurs de X.
On voit ainsi que les tangentes communes et les points communs seront tous quatre de môme nature.
OMBILICS
11 y a quatre cas possibles : quatre points réels et quatre tangentes i éelles, quatre points imaginaires et quatre tangentes réelles, quatre points réels et quatre tangentes imaginaires, enfin quatre points imaginaires et quatre tangentes imaginaires.
Si deux tangentes seulement sont réelles, les deux coniques n'auront que deux points réels.
218. Plaçons-nous dans le premier cas et supposons que les deux coniques aient quatre tangentes communes réelles et quatre points de rencontre réels.
Nous avons démontré qu'il existait alors trois droites ayant même pôle par rapport aux deux coniques et que ces droites étaient les diagonales du quadrilatère formé par les tangentes ; de plus ces droites forment un triangle conjugué commun dont les sommets sont les seuls points qui ont même polaire par rapport aux deux coniques.
On déduit de là, à l'aide du principe de dualité, ou l'on peut établir directement, que si deux coniques ont quatre
points communs, il existe trois points ayantmême polaire et que ces points sont les centres des couples de sécantes communes.
En conséquence , les diagonales du quadrilatère des tangentes communes forment un triangle dont les sommets coïncident avec les centres de sécantes communes ; ce qui revient à dire que toute droite qui joint deux ombilics corres-
COORDONNEES. — 11
242 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉ03IÉTRIE PLANE
pondants contient deux centres de couples de sécantes communes.
219. Applications. — Considérons les équations tangentielles de deux cercles,
R2(m2 -h i?2) [au -hbv-i- wf = 0,
En retranchant ces équations multipliées respectivement par R'~^ et R2, on obtient l'équation d'un système d'ombilics,
R'2^rtM -\-bv-i- w)^ — R^a'îi -+- b'v ■+- w)^ = 0. Ces deux ombilics sont sur la ligne des centres et la divisent harmoniquement ; ce sont les. centres de similitude. L'équation de l'un de ces points peut s'écrire
[aï{'-{-sa'R)u-\-{bR'-\-sb'R)v-\-{K^BR)io = 0. (s = zb 1) Les coordonnées de ces points sont donc
R' + sR ^^ R' + sR ■
On peut discuter d'ailleurs la réalité des quatre tangentes communes, et pour simplifier le calcul nous prendrons pour origine le centre du cercle qui a le plus grand rayon et pour axe des x la ligne des centres.
Les équations des cercles peuvent alors s'écrire
f{u, V, W) — R2(W2 + V2) ^ç2 - 0, 0(m, V, w) = R'2(tf2 + f2) [ua H- io)2 = 0,
en supposant R ^ R' et a > 0.
On a
Ifiu, V, l0)-i-O{u,V, IC) — (>.R2+R'2 — a2)ît2 f p^R2 j R'2\^,2
— {>^ H- 1 ) to2 — tauio = 0, et l'équation en \ peut s'écrire
^{'k) = -{'kR'-hK'')n•k) = 0, en posant
/•(A) = (XR2+R'2 a2)(>.H-l)4-a2 = X2R2 ^ X(I|2 4. IV2 «2) + R'^
L'équation en X admet la racine réelle — -p-j à laquelle correspondent les centres de similitude, ombilics qui sont toujours réels. Pour que l'équation f{X)= 0 ait ses racines réelles, il faut
qu'on ait
(R 4- R' +.a)(R + R' — a)(R — R' + rt)(R - R' — a) > 0,
OMBILICS 243
qui se réduit par suite des hypothèses à
(R + R' — a)(R — R' — a)> 0; cette condition exprime que les deux cercles ne sont pas sécants.
11 en résulte déjà que si deux cercles se coupent, ils n'admettent que deux tangentes communes réelles.
Supposons maintenant que l'équation f{'k) = 0 ait ses racines réelles et cherchons la condition pour que les quatre tangentes communes soient réelles.
11 faut pour cela que les deux racines de fil) rendent négatif le mineur
Ax = — (XR2 + R'^)(>. + 1).
R'2 11 est aisé de comparer les nombres — 1 et — -p- aux racines V et 1" de fCk). On reconnaît que — 1 est inférieur à ces
R'2 deux racines ; de plus — -^ est inférieur ou supérieur aux deux
racines selon que a^ est supérieur ou inférieur à R^ — R'^. Si les deux cercles sont extérieurs, on a a >R + R'
Ax est négatif pour x = >/ et pour 1 = 1" ; les quatre tangentes sont réelles.
Si les deux cercles sont intérieurs,
a < R - R' et a < Rh-R' ;
donc a^<n^-~ R'^ ;
Ax est positif et les quatre tangentes sont imaginaires.
220. L'équation générale des coniques ayant deux foyers donnés
{a, h) et (a', h') est
\{au-\- hv -\-w)[a'u-\- b'v-^w] -^u^-^v^ =z 0. On peut en effet considérer ces coniques comme inscrites dans le quadrilatère dont les deux foyers et les points cycliques constituent deux couples de sommets opposés.
Cela étant, considérons deux coniques ayant un foyer commun ; leurs équations peuvent s'écrire
a {au -{-bv-h w)[a'u -^ h' v -\- w) -{- u^ -\- v^ r= 0 , P [au + &v + w){a"u -\- b"v + w) -\- u^ -\- v^ = Q ; en retranchant membre à membre, on obtient l'équation d'un couple d'ombiHcs,
[au 4- &y + 'w)[a.[a'u -\-b'v-^w) — p [a"u -H b"v + lo)] ■=. 0,
qui se compose du foyer commun et d'un point situé sur la droite joignant les deux autres foyers.
221. Par un procédé analogue on peut obtenir les foyers d'une conique représentée par l'équation
f{it,v, w) =0.
Il suffit d'écrire que l'équation
f{u, V, w) — s {u^ H- f^ — 2uv COS 0) rr 0
représente deux points ; ces deux points seront des foyers. Pour cela, il faut que S soit racine de l'équation (125)
a"S2 sin2 6 — (A H- A' — 2B" cos 6) S -h A = 0. A chaque racine de cette équation correspondent deux foyers ; d'autre part les coordonnées de la droite qui les joint annulent les dérivées partielles
fu — 2S{u — v COS 6), fv —2S{v — u cos 6), fw ;
cette droite est donc axe de la conique (125).
222 Considérons maintenant deux coniques tangentes à l'origine à l'axe des x. Leurs équations sont
/• = w2 + 'zbvio H- 2b'icu H- a"w^ = 0,
fi = u^ -+- 2biVw 4- 2b[wu H- a'^w^ = 0.
On en déduit
f-\-\fi = u^{i-\-'K)+t{b-{-'kbi)vw+2{b'-i--Kb[)wu-{-{a"-{-\a'[)w^ = 0,
et l'équation en 1 est
A(>.) = — (l -\--x){b + -kbi)^ = 0.
A la racine double — — correspondent deux ombilics situés sur
l'axe Ox ; à la racine simple correspondent l'origine et un autre point.
Pour que ces deux coniques aient à l'origine un contact du deuxième ordre, il faut que Téquation en X ait une racine triple, c'est-à-dire qu'on ait
bi = b.
Le couple d'ombilics correspondant a alors pour équation
2{b' — b[)v:u -\- {a" — a';)io^ = 0.
Pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que ces deux points soient confondus à l'origine, c'est-à-dire qu'on ait
OMBILICS 245
Nous retrouvons ainsi fort simplement les conditions obtenues au numéro 172.
On établirait de la même manière les conditions pour que deux coniques asymptotes à Ox aient à l'infini un contact du deuxième ou du troisième ordre.
223. Nous terminerons ces cas particuliers en considérant deux paraboles dont les axes sont parallèles à Ooc et ayant pour équations
f = ic^-\- a'v^ + 2b'îcv:> + 2b" uv = 0,
fi = u^ -^ a[v^ -{- 2b[uw -h 2b^uv = 0. On aura
f-\-'kfi = u^{i+\)-h{a'-h'ka'i)v^-h2{b'-^\b\)uw-{-2{b"-\-Wi)uv — 0,
et l'équation en >v est
A la racine double — — correspondent deux points à Tinfini,
ce qui pouvait se prévoir, puisque les deux courbes sont tangentes à la droite de l'infini au même point.
A la racine simple -, correspondent le point à l'infini sur ^x
et un autre point à distance finie.
Pour que les deux paraboles aient à l'infini un contact du deuxième ordre, il faut que l'équation en X ait une racine triple,
c'est-à-dire qu'on ait
ai ~ b[ Le couple d'ombilics correspondant est
et pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que ces deux points soient confondus, c'est-à-dire qu'on ait
224. Exercice. — On donne une conique, un point 0 sur cette conique et Von considère un cercle variable tangent à la conique au point 0. On demande le lieu des points de concours des tangentes communes au cercle et à la conique.
Prenons pour axes des x et des y la tangente et la normale au point 0 à la conique donnée ; l'équation de cette conique est u^-i-2bvw-i-2b'wu-\-a"w^ ^ 0.
D'autre part, en désignant par m l'ordonnée du centre du cercle, son équation s'écrit
{vm -\-wY — m-\u^ -\- v^) =z 0 OU
rn^u^ — 2rnvio — w^ =: 0.
L'équation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère des tangentes communes est
(1 + •Km^)u^ -+- 2{b — 'Km)vio + 2b'iou + {a" — Xjio^ = 0, et l'équation en 'k correspondante peut s'écrire
A();) = —{[-{-•km^){b—lm)^ = 0.
A la racine simple ^ correspondent l'origine et le point
dont 1
on cherche le lieu; l'équation
de ce
po
int est donc
Ses
coordonnées sont
et en éliminant — entre ces deux équations, on a l'équation du
lieu,
[b'y — bx)^ = x{2b'2 — a"x),
qui représente une conique normale à l'origine à la conique donnée. On a aisément l'équation tangentielle du lieu en écrivant que l'équation
^ + — + 2b' H H- 2bv 4- a"w = 0
a ses racines égales en — , ce qui donne
^2 to(26'M + 2bv -h a"w) = 0, qui peut s'écrire
u^ + 2bvw 4- 2b'uio -\- o!'w'^ — (u^ + v-) = 0,
et sous cette forme on reconnaît que la conique trouvée est homof ocale à la conique donnée.
Remarquons aussi que cet exercice est un cas particulier de l'exercice résolu au numéro 190. Le point P est dans ce cas sur la coni. que, et des deux coniques homofocales trouvées, l'une coïncide avec la conique donnée.
03IBILICS 247
EXERCICES ET NOTES
1. Nous avons vu que pour déterminer les ombilics relatifs à deux coniques définies par les équations tangentielles
on écrit que le discriminant de f-\-'kfi est nul ; on obtient une équation
et en transportant une des racines dans f-hlfu cette expression se décompose en un produit de deux facteurs linéaires qui, égalés à zéro, déterminent deux ombilics.
Si Ton veut trouver le lieu géométrique des ombilics relatifs à deux coniques dont l'une au moins est variable, on peut obtenir les coordonnées des deux points représentés par l'équation
/•+)/, rrrO,
même sans résoudre l'équation en 'k; il suffît de décomposer en carrés f+\fi et de négliger le troisième carré qui est nul. On élimine alors les paramètres variables et >v entre les équations qui déterminent les coordonnées des ombilics et l'équation A ()v) = 0.
Les calculs sont souvent laborieux et cette méthode n'est pas à employer dans le cas général; elle n'est réellement avantageuse que lorsqu'on peut résoudre l'équation en x, ou lorsqu'on connaît à l'avance un ombilic, quand on sait par exemple que les deux coniques sont tangentes, etc. Nous en donnerons d'ailleurs bientôt quelques exemples.
Dans le cas général il est préférable d'opérer de la manière suivante.
Soit [x, y) un point du lieu ; j'écris que les tangentes issues de ce point aux deux coniques sont les mêmes, c'est-à-dire que les deux systèmes
ux-\-vy -{- w =z 0, ux -\- vy -\- w :=z 0,
f{u, V, w) = 0 fi[u, V, w) =: 0
ont mêmes solutions, ou, en éliminant lo entre ces équations, on écrit que les deux équations
f [i«, V, — [ux -h vy)] = 0,
ont mêmes racines en ic et v. On obtient deux relations entre lesquelles on élimine les paramètres.
2. Lien des points de concours des tangentes communes à une ellipse fixe et à un cercle dont le centre est fixe et le rayon variable.
Soient
[uxq -h vy^ H- wf — p2(te2 i ^2) =0
les équations des deux courbes, p étant variable.
En opérant comme on l'a dit plus haut, on considère les équations
à^U^ -\- &2-y2 ^^^ | ^yY -— Q^
et on écrit qu'elles ont mêmes racines, ce qui donne
«2 a;2 ^2 y2 ggy
{x — XoY'' - p''~ {y— y^f — p2 ~ {x — XQ}{y - î/o) On élimine aisément p2, et on trouve comme lieu une strophoïde dont le point double est le point xq, y^.
3. Lieu des points de concours des tangentes communes à ime ellipse ftjoe et à une ellipse de grandeur constante qui tourne autour de son centre supposé fixe.
TiCs équations des deux courbes peuvent s'écrire
aHi^-h &2v2 io2 — 0,
a'2(M cos cp-f-u sin o)"^-\-b''^{u sin o — v cos cp)2 — (^^x^-i- vyQ-{- w)^ =0^
a', b' désignant les demi-axes, x^, y^ les cordonnées du centre ; 9 est la variable.
On peut appliquer la même méthode.
4. Lieu des points de concours des tangentes communes à une ellipse fixe et à toutes les hyp3rbolei équilatères qui passent par les foyers [réels et imaginaires) de l'ellipse.
5. Si l'on connaît un ombilic relatif à deux coniques, il est aisé d'en déduire l'ombilic correspondant, c'est-à-dire le point qui, joint à l'ombilic connu, constitue une conique appartenant au faisceau tangentiel déterminé par les deux coniques.
Soient, en effet, a, 3, y les coordonnées d'un ombilic; les équations des deux coniques pourront s'écrire
OMBILICS 249
/"(m, V, w) 4- {u% H- v,3 H- vrf){ux + vy + to j) = 0,
f[u, V, w) + (t^a + y? + iov){ux' + v?/' H- ic^') =i 0,
en désignant par f[u, v, lo) = 0 une conique quelconque tangente aux deux tangentes communes issues du point a, [â, y. En retrancliant les deux équations, on a
(ua. -h vf^ -h ioy}[u{co — x') -h v[y —y') -+-w{^—-z')] = 0,
et l'ombilic correspondant au point (a, ?, y) a pour coordonnées oc ^x\ y — y\ z — z\
Comme ce point est sur la droite qui joint les points (a?, y, z) et (a?', î/', z'), on a le théorème suivant :
Si trois coniques ont un ombilic commun, les ombilics correspondants et relatifs aux coniques prises deux à deux sont en ligne droite.
6. Bèmontrtr que si deux coniques de grandeur fixe ont un foyer commun F, et si Fune tourne autour de ce foyer dans son plan, le lieu des points de concours des tangentes communes à ces deux coniques est un cercle. Si les deux coniques sont telles que, dans une de leurs positions, les tangentes communes soient parallèles, elles le seront dans toutes; montrer que la condition de parallélisme de ces tangentes communes est Végalitè des axes non focaux.
Le point F est un ombilic commun; on aura aisément l'ombilic correspondant.
Soit
a^u"^ -f- hH- — ao^ r= 0
l'équation de la conique fixe ; en transportant l'origine au foyer ( — c, 0) l'équation devient
a~u- -j- b'-v- — [uc + wf = 0,
b^[ii^ -\- u2) — 2ciiw — io2 zr 0.
Si l'on désigne par 6 l'angle des axes focaux des deux coniques et par a, b', c' les éléments de la conique qui se déplace, on trouve aisément que l'équation de cette conique est
b'^{u^ -+- v^) — 2c\u cos 6 -4- V sin 6)io — ^0' = 0.
Éliminons u- -hv^ ; il vient
w[2u{b^c' cos 9 — b'^c) + Ib'^c'v sin 6 -+- [b- — b'~)ic] = 0,
nous obtenons ainsi les coordonnées d'un point du lieu
2(&-c' cos 6 — //%) 2b^c' sin Q
il est aisé d'achever.
7. Lieu du sommet d'une parabole tangente et confocale à une ellipse ; enveloppe de la directrice et de la tangente au sommet.
Pour écrire que la parabole est tangente à l'ellipse^ on écrit que l'ombilic correspondant au foyer est sur l'ellipse.
8. Liett des centres des cercles tangents à une ellipse et admettant avec cette ellipse deux tangentes communes parallèles.
Soit ahi^-\-hH'^ — lo^ — 0 l'équation de l'ellipse; x, y désignant les coordonnées d'un point du lieu, on considère l'équation
et on écrit que celle équation représente deux points dont l'un est à l'infini et l'autre sur l'ellipse.
9. Étant donné un parallélogramme OACB^ on considère deux paraboles variables, l'une tangente en K à AC et ayant pour diamètre OA, l'aut7^e tangente en B à BC et ayant pour diamètre OB ; on suppose en outre que ces deux paraboles sont tangentes en un point M ; la tangente commune en ce point rencontre la seconde tangente commune en un point P.
Démontrer que la tangente en M passe par un point fixe et trouver les lieux géométriques des points M et P.
Prenons pour axes OA et OB et posons OA = a, OB = ô. Les équations des deux paraboles sont
f=i pv^ -+- u[ua + lo) = 0,
o — qu^ -\- v{vb 4- lo) =r 0 ; on en déduit
f-j-loz=z u%a H- \q) + v^p -+- \b) -h uw -h Xrio rz 0 ;
en écrivant que le discriminant est nul, on a
\^[a-^-kq)+p-^\b z= 0,
et pour toute racine de cette équation on a
f-h'k^ = {u-h\v)\u{a-\--kq) + v ^^t \-ro] — 0,
OU encore, en tenant compte de l'équation en X,
Z'+Xcp == [u-^\v)[u{a-\-\q)—v\{a-\-\q)-\-xo] = 0;
cette équation représente un point à l'infini et un pointa distance finie qui a pour coordonnées
xz=a-hlq, y = —lia -\--kq). (1)
OMBILICS 251
Pour que les paraboles soient tangentes, il faut que l'équation en X ait une racine double.
Si on remplace >v par cette racine double dans les relations (1), on a les coordonnées du point P ; au contraire en y remplaçant X par la racine simple, on a les coordonnées du point M.
La racine double X satisfait à l'équation dérivée
3^2^ -i-2a>-hb = 0 ; on en tire q = r-^ — et, en remplaçant dans (1), on a les
coordonnées du point P :
oK — b a\ — h
En éliminant \, on a le lieu du point P.
La somme des racines de l'équation en X est , donc la ra-
cine simple est égale à 2X ; les coordonnées du point M
sont alors
X = — 2'kq, y = — 2a>. — 4).^^,
, , , 2al-j-b ou, en remplaçant q par sa valeur — - — »
2(2a>, + 6) 2(ifk + 2h] ,„,
En éliminant X on aura le lieu du point M.
La tangente en M est la droite MP ; on vérifiera aisément qu'elle passe par le centre de gravité du triangle ABC.
10. D'un point M situé dans le plan d'une conique on mène à celle-ci les deux tangentes MA et MB, puis par le point M on trace une droite qicelconque MC. Aux points A et B on construit les coniques ayant un contact du troisième ordre avec la proposée et tangentes à MG.
Démontrer que ces coniques touchent MC au même point C, et que si Von faisait tourner l'une d'elles de manière à la rabattre autour de MC du côté de la première, les coniques obtenues auraient en ce point un contact du troisième ordre.
11. Une conique variable a un contact du deuxième ordre avec une hyperbole équilatère et a un foyer fixe au centre de cette hyperbole ; démontrer que les tangentes communes aux deux courbes se coupent sur une lemniscate.
12. En un point M d'une conique, on construit la parabole ayant
un contact du deuxième ordre et l'on prend le symétrique P du foyer de cette parabole par rapport à la tangente en M ; démontrer que le point M et son symétrique par rapport à P sont réciproques par rapport au cercle orthoptique.
Prenons pour axes la tangente et la normale au point M ; l'équation de la conique sera
au'^ -f- 10- H- ^hvio -{-2b'wu = 0.
L'équation générale des coniques ayant à l'origine un contact du deuxième ordre avec cette conique est (199)
aîi^ + 10^ + 2bvw + 2b'wu -+- w{clu -+- Pio) = 0,
et par conséquent l'équation générale des paraboles pourra s'écrire
au^ -+- 2bvio + 2^wu = 0 ;
on verra aisément que la polaire de l'origine par rapport au cercle orthoptique passe parle point P.
13. Lieu des foyers et enveloppe des axes des paraboles ayant en un point donné un contact du deuxième ordre avec une conique donnée.
14. On considère toutes les coniques ayant un contact du troisième ordre en un point donné avec une conique donnée ; trouver le lieu des centres, des foyers et l'enveloppe des axes.
On prendra pour axes la tangente et la normale à la conique fixe au point donné.
L'équation de cette conique sera
f{u, î>, w) =. au^ -\- a"w^ -\-2bx)vo -\- ^b'vou = 0, et l'équation générale des coniques variables sera /"(tt, V, vo) -f- \ur z= 0.
15. Deux ellipses égales sont tangent.es à la même droite au même point fixe^ l'une par l'extrémité du grand axe^ Vautre par V extrémité du petit axe. Les deux demi-axes a et b sont liés par la relation ab =z constante . On demande le lieu des milieux des tangentes communes.
16. Etant données deux coniques tangentes en un point 0, on leur mène une tangente commune OR, ainsi que les tangentes communes extérieures A A', BB', qui se coupent en M. Cela posé, on demande de démontrer que :
OMBILICS 253
1° La droite PP', qui joint les points P et P' diamétralement opposés au'point 0 dans les deux coniques, passe par le point M.
2° Les droites AB, A'B' qui joignent les points de coîUact de chaque conique avec les tangentes communes extérieures, se coupent en un point R qui est situé sur la tangente commune OR.
3° Les tangentes menées aux deux coniques par le point R touchent les courbes en des points qui sont situés sur la droite MO.
On fera voir que, généralement, le point R ne partage cette propriété avec aucun autre point, et on déterminera la condition qui doit être remplie pour qu'il existe une ligne telle que les tangentes menées par chaque point de cette ligne aux deux coniques donnent quatre points de contact en ligne droite.
17. Lieu des centres des ellipses dont les axes ont une direction donnée et qui ont, en un 'point donné, un contact du second ordre avec un cercle donné.
