On donne un triangle ABC et un point P dans son plan
i° Trouver le lieu des centres des coniques S inscrites dans le triangle ABC et qui sont vues du point P sous un angle donné w.
2° Discuter ce lieu en supposant que le point P se déplace dans le plan du triangle.
3° Démontrer que, si l'angle donné w est droit, toutes les coniques S sont aussi vues sous un angle droit d'un autre point P'. Montrer que dans ce cas, si le point P se déplace^ la droite PP' passe par un point fixe I et que le produit IP X IP' ^st constant.
(Agrégation des Sciences mathématiques, 1890.)
Voir une remarquable solution de M. Maluski dans la Revue de Mathématiques spéciales, tome I, p. 8.
8. On donne une conique inscrite dans un triangle ABC, et un point 0. Les droites OA, OB, OC rencontrent les côtés du triangle en A', B', C, qui constituent les sommets d'un nouveau triangle A'B'C. Par chacun des sommets de ce triangle on mène des tangentes à la conique qui rencontrent les côtés opposés en trois points. Démontrer que ces trois points sont en ligne droite.
On pourra prendre pour triangle de référence le triangle ABC ou le triangle A'B'C
9. Une conique étant inscrite à un triangle, si l'on désigne par P le produit de ses demi-axes et par a, p, y les distances du centre de la conique aux droites qui joignent les milieux des côtés du triangle,
on a la relation
P2 = 4Ra[3Y.
• (Steiner.) Prenons le triangle pour triangle de référence; l'équation tangentielle de la conique sera
/•(U, V, W) = 2&V W 4- 2&'WU + 2&"U V =: 0,
et le carré du produit des demi-axes sera
oix l'on a A = 2bb'b",
F = 2b sin B sin C -f 2b' sin C sin A -f- 2b" sin A sin B.
D'autre part les coordonnées du centre de la conique sont h" sin B H- &' sin C , h" sin A H- & sin C , h' sin A -h ^ sin B ;
on en déduit les coordonnées absolues en les multipliant par le lacteur^.
Or l'équation de la droite qui joint les milieux de AB et de AC
est
X sin A — Y sin B — Z sin C = 0 ;
on en conclut que la distance du centre à cette droite est, toutes réductions faites [Ex. 1), au signe près,
S& sin B sin C °' ~ FRsinA On aura de même
S6' sin C sin A S&" sin A sin B
on en déduit et comme
FR sin B ' "" FR sin C
^^hh'h" sin A sin B sin C
aPY =
sin A sin B sin C = -^ »
^'Pï- 2F3R5 - 4FaR6- 4R' et le théorème est démontré.
10. Lieu des pôles d'une droite par rapport aux coniques inscrites dans un triangle et passant par un point donné.
Cas où la droite est à l'infini.
Si l'on prend le triangle pour triangle de référence, Téquation générale des coniques est
2&VW -4- 2&'WU -f- 2&"UV = 0, et pour écrire que cette conique passe par le point donné (a, p, y), on écrit que son équation ponctuelle est vérifiée par les coordonnées de ce point, ce qui donne
b^a} + Z>'^p2 ^ ^,"2^2 2b'b"^^ — 2b"b^(0L — 2bb'oL^ = 0.
11. 7^ existe une infinité de coniques conjuguées par rapport à un triangle et tangentes à une droite. Démontrer que toutes ces coniques sont tangentes à quatre droites fixes.
L'équation générale des coniques conjuguées par rapport au
COORDONNÉES TRILATÈRES 287
triangle de référence est
aU2-h«'V2 + a"W2=:0.
Si on écrit que celte conique touche la droite {uq, Vq, icq), on a
auo^ H- a'vo^ -h a"tOo^ = 0,
équation qui exprime aussi que la conique touche les trois droites
( — Uo, Vo, tCo), (î<o, — '^0, ic>o] et (mo, Vo, — 'Wq)- Théorème corrélatif.
12. On considère des coniques inscrites dans un triangle ABC et vues d'un point fixe sous un angle droit. Enveloppe des cotés du triangle polaire de ABC.
13. On donne un triangle ABC, une droite A et une conique tangente à cette droite. Par le point a où la droite A rencontre le côté BC on mène une tatigente à la conique qui rencontre en A' et en A" les tangentes issues du point A à cette même conique. Opérant de même pour les deux autres côtés, on obtient six points A', A", B', B", G', C". Démontrer que ces six points sont sur une conique circonscrite au triangle ABC.
Soit /-(U, V,W) = aW + a'Y^-h.... =0
l'équation de la conique, ABC étant le triangle de référence, et wo, Vo, wo les coordonnées de la droite A, avec la condition
f{uo, Vo, wo) = 0; (1)
la seconde tangente issue du point a à la conique a pour coordon-
f nées Uq — —S ^o^ ^o» et laconique passant par les cinq points
a A, B, C, A', A" a pour équation ponctuelle
a'Z2 + a"Y-2-2&YZ-(^ + '^) (uo-(^\x + VqY+w;/^ =0.
Cette équation peut encore s'écrire, en tenant compte de (1),
awoYZ 4- a'voZX. + a'^o^XY =z 0, et comme cette équation est symétrique, le théorème est démontré.
14. Soient o, o', o" les distances du centre d'une conique à t7^ois tangentes, et p, p', p" les distances de ce centre aux points de contact; on a
15. On donne un triangle ABC, une conique et un point 0 sur cette conique. Les droites OA, OB, OC coupent la conique respective-
ment aux points A', B', C. Déplus, le cote BG rencontre cette conique aux points A", k'" ; le côté AC aux points B", B'" et le coté AB aux points G", G'". Démontrer que les triangles A'A"A"', B'B"B'", G'G"G'" sont circonscrits à une même conique.
16. Par les sommets A, B, G d'un triangle inscrit dans une conique, on mène à la courbe des tangentes qui rencontrent les côtés opposés en A', B', G' ; les milieux de AA', BB', CG' sont en ligne droite.
On peut prendre pour triangle de référence le triangle circonscrit à la conique aux points A, B, G.
17. Nous avons défini d'une manière purement analytique les coordonnées trilatères d'un point par les formules
X = aiX-\-biy-\-CiZ,
X — a.2X-^h2y-\-CiZ, ) {{)
Z = a^x-^h^ij + c^:
nous en avons déduit les coordonnées trilatères U, V, W d'une droite définies comme coefficients de X, Y, Z dans l'équation de celte droite, et nous avons montré que ces coordonnées U, V, W étaient liées aux coordonnées homogènes u, v, %c de la droite parles relations
U = Aiw+B^v + Ciw?,
Vzr Aait + BaV + GaiO, ) (3)
W = Aait H- Bgv H- Gato,
Al, Bj, désignant les coefficients de a,, ôi,... dans le développement du déterminant
«1 bi Ci
On peut interpréter géométriquement ces nouvelles coordonnées de points et de droites.
Soient x, y, z les coordonnées homogènes d'un point M, les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.
Désignons par p^, pi, ps les distances de ce point aux trois côtés BG, GA, AB du triangle de référence ABG, ces distances étant précédées du signe --t- ou du signe — , selon que le point M est situé dans la région positive ou négative du côté correspondant. On peut d'ailleurs supposer que les équations de ces côtés sont écrites de telle
COORDONNÉES TRILATÈRES 289
manière que tout point de Tintérieur du triangle soit dans la région positive des trois côtés.
Nous dirons que les nombres Pi, P2, Pz sont les coordonnées trilatères absolues du point M.
On aura les formules
«1^7 -t- biy -h CiZ Pi =
Pi =
•si al -h b\ a^x H- b^y H- c^z
et les relations (1) peuvent s'écrire
pX =: pi\Ja\
pY = Pisjal
pZ — pz\lal-^b\,
p désignant un nombre arbitraire.
On voit ainsi que les coordonnées trilatères du point M sont proportionnelles aux produits des coordonnées absolues de ce point par des nombres fixes.
De même, étant donnée une droite a, ayant pour coordonnées homogènes w, v, to, désignons par ^i, q^^ qo les distances des points A, B, G à cette droite, ces distances étant précédées d'un signe déterminé par la convention suivante :
Deux distances ont le même signe ou des signes différents selon que les deux points correspondants sont d'un même côté ou non de la droite.
Nous dirons que les nombres gi, q^, q^ sont les coordonnées trilatères absolues de la droite A.
Comme les coordonnées homogènes des sommets A, B, G du triangle de référence sont respectivement (Ai, Bi, G,), (A2, B2, Gg), (A3, B3, G3), on aura
Aitc-JrBiV -\-Ciic
qi —
Gls/^^2,^2
A3M + BiV + Cow
Czsitt' + V^
et les formules (3) peuvent
s'écrire
COORDONNEES. — II
aW = ^363,
<T étant un nombre arbitraire.
On voit ainsi que les coordonnées trilatères d'une droite sont proportionnelles aux produits des coordonnées absolues de celte droite par des nombres fixes.
Inversement, on peut définir d'une manière purement géométrique les coordonnées trilatères d'un point et d'une droite, indépendamment de tout autre système de coordonnées.
Soit un triangle ABC ; désignons par pi, p^, ps les distances d'un point M du plan aux côtés BC, CA, AB, ces distances étant précédées du signe 4- ou du signe — selon que le point M est, par rapport au côté correspondant, dans la même région que le sommet opposé ; nous appellerons coordonnées trilatères du point M les nombres X, Y, Z définis par les relations
pX = kip^,
pY = kiPi,
pZ = ksps,
hi, k2, ks étant des nombres fixes et arbitrairement choisis, p ayant une valeur quelconque.
Si l'on se donne des valeurs de X, Y, Z, il n'existe qu'un seul point correspondant.
De même, étant donnée une droite, désignons par 5-1, g'2, qs les distances (afi'ectées de signe, comme on l'a vu plus haut) des sommets du triangle ABC à cette droite ; nous appellerons coordonnées trilatères de la droite, les quantités U, V, W, définies par les relations
aU = h^qi,
aV = hqi, ffW = hsqs,
/<!, 7^25 ^3 étant des nombres fixes et arbitrairement choisis, a ayant une valeur quelconque.
Si l'on se donne des valeurs de U, V, W, il n'existe qu'une seule droite correspondante.
Étant ainsi en possession des coordonnées de points et de droites, il importe de chercher la relation qui doit exister entre les coordonnées d'un point et celles d'une droite pour que le point soit sur la droite ; autrement dit, il faut chercher l'équation ponctuelle de la droite et l'équation tangentielle du point.
COORDONNÉES TRILATÈRES 291
En tenant compte des valeurs précédemment calculées de pi, p2, Ps, qu ^2, ?3 et en désignant par x, y, z, u, v, w les coordonnées homogènes du point et de la droite, les relations qui précèdent peu vent s'écrire
diX + biy + Ci3 = p — î— 1 i ,
, Yy/ai H- hl
asoc 4- bsy -+- CzZ = p' ^ — ï
A iM 4- Bj-y -1- Clic =: a' -j — ,
UCi
■VIT pi
A3U + B3V H- Csto = <y' —r-^ • On voit aisément que
\, {aiX + 6/î/ H- Ciz){AiU + BjV 4- Crw?) = D{ux -\- vy -h wz) ;
î = 1 il en résulte la relation D{ux-{-vy + w?^) =
, , rUXCiy/a? + &?^ VYC2v/^rrM^ WZCav/^TT&îl L hiki h^k^ h^k-s j
et par conséquent, la condition pour que le point soit sur la droite est
/il/^j ^2^2 ^3^3
Mais si Ton veut que l'équation de la droite ait la forme simple
UX 4- VY + WZ = 0,
qui ne change pas quand on permute les coordonnées de droites et de points, il faut choisir les nombres ki, Â2, ksj h^ h, h de telle manière que l'on ait
hiki h^ki hsk^
Dans les applications que nous avons faites des coordonnées trilatères, nous nous sommes donné les nombres 7ii, ^2» ^3 ; nous avons
pris
ki = y/af H-^f, ^2 = v/«i + bi, h:, = /^f+T^ ;
il en résulte alors pour les nombres Aj, hi, h^ les valeurs
hi ^2 hs
Cl C2 C3
Quand on étudie les propriétés métriques des figures, on détermine les coefficients des équations des côtés du triangle de référence de façon qu'on ait
\/ai 4- b^ = si al H- b^ = sja'i + b\ — 1 ; on a alors
h^.— k^ — h.^— J, et
Al li-i __ h'i sin A sin B sin C Les coordonnées trilatères du point sont proportionnelles aux coordonnées absolues, et les coordonnées trilatères de la droite sont proportionnelles aux produits des coordonnées absolues par les sinus des angles du triangle.
Rien n'empêcherait de choisir d'abord les nombres Aj, h-i, h^, de supposer par exemple
hi = hi — li-i — I ,
afin que les coordonnées trilatères de la droite soient proportionnelles aux coordonnées absolues g^, q2, q-s. On devrait alors choisir /ti, Â2, h^ de telle manière que l'on ait
hi h-i /^3
Oisjal+bi C2M+ bl Cav/ai -+- b'i Il est clair que dans cette hypothèse, les formules relatives aux propriétés métriques des figures ne seraient plus les mêmes.
Il eût été peut-être plus logique, dans une étude des coordonnées tangentielles, d'adopter cette manière de voir ; nous avons préféré la première pour ne pas modifier les formules relatives aux coordonnées ponctuelles qui sont souvent employées.
18. De même que les coordonnées trilatères absolues d'un point vérifient la relation
api -f- bp2 + Ci9:5 = 2S,
les coordonnées trilatères absolues d'une droite vérifient une relation plus compliquée qu'on peut obtenir de la manière suivante :
Désignons par A', B', C les projections des sommets du triangle de référence sur la droite A ; on aura entre les longueurs B'C, C'A', A'B' une i;elation de la forme •
ce qui peut s'écrire
COORDONNÉES ÏRILATÈRES 293
B'C'zbC'A'itA'B' = 0,
Pour rendre cette relation rationnelle, nous nous appuierons sur la formule connue
En prenant dans la formule (1) les radicaux avec les quatre combinaisons de signes possibles, et faisant le produit des expressions obtenues, on a d'après la formule (2)
' [a^ - {q2 - ^3)^]^ + [b^ - (^3 - qin + [c^ - (qi - q.W
-2[[h^-{q,-q,nc'--{qi-q,r]-h[c^-{qi-q,rW-{q,-qs)'] -^[^'-{q2-qzYW-{qz-qi)']]=0. (3) Les termes du quatrième degré eng'i, g,» 2^3 peuvent s'écrire (q2 — qz)' H- {qs — qif + (^i — Î2)*
— 2[(g3 - q.nqi - q^Y + {qi - q^T'iq^ - qz? + (^2 - ^3)^(^8 - q^Yl expression qui se déduit du premier membre de (2) en posant
« = ^2 — ^3, ^ = q^—qi, ^^ — q^ — q^;
comme on a a 4- jâ 4- y = 0,
il en résulte que le deuxième membre est nul, il en est de même de cette expression.
La relation (3) peut alors s'écrire
ou encore, en remarquant que
d'après la formule (2),
d?q\ + hm + e~q\ — q.jMh^ 4- C^ - a^) - qsq,{c^ 4- a^ -b^)
-gi?2(a2 4-b2-c2) = 482 ou encore
a^gf + b^^lH-c^^'l— 2bc2'22'3CosA — 2ca2'32'iCosB — 2ab3'i2'oCosC=4S-; c'est la relation cherchée, x
251. Étant données les équations de deux coniques en coordonnées rectilignes ou trilatères
/"(w, V, iv) = au^-\-a'v^-{-aV-h2bvw-\-'^0'wu-^^b"LW =0, (C) fi{u, V, iv) = aiU^-i-a[v^-{-alw^-h'2biVW-{-^b\wu-{-2b'[uv = 0, (Ci)
l'équation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère Q des tangentes communes est
Donnons à X deux valeurs égales et de signes contraires (x et — ix; on obtient deux coniques
f-V-fi = 0, (C'O
et il est aisé de montrer que les pôles d'une droite quelconque
par rapport aux quatre coniques C, Ci, C, C^ [pôles situés en
ligne droite (187)] sont quatre points conjugués harmoniques.
Soient en effet
les équations des pôles de la droite (m^, Uq» ^^'o) P^^ rapport aux coniques G et Ci.
Les pôles de cette même droite par rapport aux deux autres
coniques auront pour équations
P + {^P, = 0, P - f^Pi = 0, et l'on voit que ces deux points divisent harmoniquement les points F et Pi.
En particulier les points de contact de ces coniques avec un côté du quadrilatère Q forment une division harmonique.
On dit dans ce cas que les coniques G' et C[ sont conjuguées harmoniques par rapport aux coniques G et Gi, et l'on voit sans peine que, réciproquement, les coniques G et Gi sont conjuguées harmoniques par rapport à G' et Gi.
En outre, il est à peine utile de faire observer que cette propriété est indépendante du triangle de référence ou des axes de coordonnées.
252. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que quatre coniques soient conjuguées harmoniques est que les tangentes menées à deux des coniques conjuguées par un point commun aux deux autres coniques forment un faisceau harmonique.
Prenons pour origine un point commun aux deux coniques G et Gi, et pour axes les tangentes en ce point à ces deux coniques ; leurs équations pourront alors s'écrire
f=u^-^ ^bviv + Wwu -4- al'iv^ = 0, fi = v^-h 2bivw-h2ù\ivu H- aW = 0.
Gonsidérons maintenant deux coniques inscrites dans le quadrilatère des tangentes communes à G et à Gi,
/•+ j./-, = 0. (Gi)
Les tangentes menées de l'origine à ces deux coniques sont déterminées par les équations
m2 + Xî;2 = 0, u^ H- ixv^ =z 0 ;
et Ton voit aisément que pour que ces droites forment un faisceau harmonique, il faut et il suffit que
c'est-à-dire que les coniques G' et d soient conjuguées harmoniques par rapport à G et à Ci. Le théorème est démontré.
