Revenons à l'équation générale
des coniques inscrites dans le quadrilatère Q des tangentes communes aux coniques. C etG,,
f[u, V, w) = au^-ha'v^-i-aV-hUvw-h'^b'iou-h^b"uv = 0, (G)
L'équation ponctuelle de la conique qui a pour équation tangentielle l'équation (1)est
a H- lai b" H- Ibl b' -h \b[ x
ui
la' b
Ibi
Ibi y
la'i z
b' -h lb[
ou, en développant,
X2Fi(a?, y, z)-^l^{x, y, z) où nous posons
F{x,y, z) = Ax^ + A'?/2 -f- A''^^ + 2Byz 4- '2B'zx -i- m"xy, Fi(a?,y,z) =: Aia:^ + A;î/2-t-A';z2-4-2Bi?/3-h2B;2ar-l-2Bîa:?/, ^{x, y, z) = [a'a'i -{- a"a[ — '2.bbi)x' -h {a"ai-^ aal — Wb[)y^ -H {aa\ -4- a'«i — Wb^) z^ -}- 2 [b'bl + b"b[ — ab^ — ba^) yz -{-^{b"bi-i-bb'l—a'b[-b'a[)zx'^'i{bb[-^b'bi — a"bl—b"ai)xy.
Les équations
sont les équations ponctuelles des coniques G et G,. Nous allons étudier la conique S qui a pour équation
Hx, y, z) = 0. (S)
Les équations (i) et (2) sont les équations tangentielle et ponctuelle d'une même conique ; on peut donc considérer l'équation (2) comme exprimant la condition pour que le point (a?, î/, z) soit situé sur la conique (1) ; en d'autres termes, si l'on résout l'équation (2) par rapporta X, et si l'on transporte les racines dans l'équation (1), on obtient les équations des coniques du faisceau (i) qui passent par le point (a?, ?/, z).
Il en résulte que Téquation
^' (•2?, y^ z) = 0 est le lieu des points par lesquels passent deux coniques du faisceau (1) conjuguées harmoniques par rapport aux coniques C et Cl ou, d'après le théorème précédent (252), cette conique S est le lieu des points tels que les tangentes issues de ces points aux coniques G et Ci forment un faisceau harmonique.
Il est aisé de voir que cette conique est conjuguée par rapport au triangle conjugué commun aux coniques C et Ci.
En effet, si l'on prend ce triangle pour triangle de référence, les équations de C et de Ci peuvent s'écrire
au^-i-a'v^-i-aV = 0,
diU^ 4- a[v^ + a'iic^ = 0,
et la conique S a pour équation ponctuelle
{a'a'; -h a"al)x^ -h (a"ai H- aa'[}y^ + {aà[ -h a'ai)z^ — 0,
et par suite, pour équation tangentielle
a al -h a a[ aui -h aa\ aa[
Les points de contact des tangentes communes aux deux coniques C et Ci sont visiblement des points du lieu; il en résulte le théorème suivant :
Les huit points de contact des tangentes communes à deux coniques sont sur une conique.
254. Si l'on suppose que la conique Ci se réduise à deux points A et B, la conique ^ est le lieu du point M tel que les
tangentes issues de ce point à la conique G soient conjuguées harmoniques par rapport à MA et MB.
Si en particulier les points A et B sont les points cycliques, la conique S se réduit au cercle, lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique G.
On retrouve ainsi fort simplement l'équation obtenue au numéro 249 en supposant que
/'i(w, V, w)^y^ -hv^ -i-w^ — 2vw cos A — 2wu cos B — 2uv cos C.
