f- î tg 3a a-\- bei^ -+- ce^'o + de
i — Ug 3a ~ a + be-i^ + ce-^^o + de-^^^ '
, „ & sin 0 H- c sin 20 4- (^ sin 30 tg 3a m ^ , ,^ ^ ^^ , ^ ^ ^^ , ^^ ^^ ^^^
L'identité qui précède devient alors, en remplaçant h et e^'^^ par ces valeurs,
— [pm — q){m'^-\- 2m cos 6 + 1) + cp{i», — 1)
^ ÏÏTiïï^ '^'f^^' et-6)(me-^-« + 1)3 o; l , e-'o)(me'o + l)»] ;
le second membre pouvant s'écrire, développé,
■ 3 [m3[a(4 sin2 6 — 3) — 26 cos 6 — c] H- 3m2(cZ — & — 2a cos 6)
H- 3m(c — a -I- 2c^ cos 6) 4- & 4- 2c cos 6 + d(3 — 4 sin^ .0)] .
En égalant les coefficients de m^ et les termes indépendants, on obtient les valeurs de p et de q,
3a 4-c-f-2& cos 0
3ff4-/j-t-2c cos
4 sin^ 6
Nous obtenons ainsi le centre de l'hypocycloïde et les directions des tangentes aux points de rebroussement.
En tenant compte de ces transformation», l'équation tangentielle de la courbe peut s'écrire
w[u^ ) ^2 2uv cos 6) H- h[e^i''[ue~^^— vf — [ue^^ — vf] = 0.
Prenons maintenant pour axe des x' une droite Ox' telle que
(0^, Ox') = OL,
et pour axe des y' une perpendiculaire à Ox', telle que iOx',Oy') = l- Les formules de transformation de coordonnées sont les formules (4) de la page 32, où l'on fait ^ = a+-^ et 1 =z i ; on a
u =z- u' cos a — v' sin a , V =z u' cos (8 — a) -h v' sin (6 — a), w =: v/.
On voit aisément en faisant la substitution dans l'équation que u^ -+- y2 — 2uv cos 6 se transforme en [u'^ -+- v'^) sin^ 6 ; d'autre part, on trouve
ue~^^ — V z=z — sin 0e~^'*(m'-h v'),
^gio — -y — sin 6e**(— m' -hv'); ^ enfin, on a
8î sm** 6 '^ ^^ Le radical est égal au module de l'expression «^(1, e^'o); soit A ce module, on aura
A = \J{a-i- h cos 6H-C cos 26+ (i cos '6^y-\-\b sine+csin 2e4-c^ sin 36)%
et l'équation de la courbe s'écrit
^o'(w'2 4. ^'2) -t- . (3it''y'2 u'A — 0. ^ 4 sm^ 6 '
En comparant avec l'équation (1), on voit que cette équation représente une hypocycloïde à trois rebroussements, dont le rayon R du cercle fixe est donné par
4 sin=^ 6 En résumé, on voit que l'équation
xo {u^ -j-v^ — 2iiv cos 6) + aii'^ H- buH + cuv'^ -\- dv^ — 0
représente une hypocycloïde à trois rebroussements ; son centre a pour coordonnées
3a + c -h 2& cos 6
4 sin^ 6 'Sd-\-b-{-2c cos
4 sin^ 0
le rayon du cercle fixe est égal à
, • ^— v/(^'+^cose4-ccos20+£^cos39)2^-(6sine^-csin2e-f-cZsin3e)^ 4 sin^ 0 ^
et l'axe des ce fait avec les tangentes de rebroussement les angles a déflnis par la relation
, „ & sin 0 + c sin 20 + c^ sin 39
l<y 3oc :::r ■ •
® a + & COS 6 4- c COS 26 H- cZ cos 36
Dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, on a
X o b — d tg 3a =
A titre d'exemple, reportons-nous aux exercices du Chapitre U, p. ol, et considérons d'abord l'exercice 2. On trouve la courbe (|ui a pour équation tangentielle
w [u^ + v^) -\- 4mv (av + ^u) rr 0.
Cette courbe est une hypocycloïde à trois rebroussements, quels que soient a et ^ (et non pas seulement dans le cas où la corde AB est un diamètre, comme nous l'avons dit à tort).
Le centre de cette courbe est le point (a, P), c'est-à-dire le centre du cercle considéré dans l'exercice, le rayon R est égal à 3 y/a^ -|-P, c'est-à-dire à trois fois le rayon du cercle donné.
On voit également (exercice 6) que la droite de Simson enveloppe une hypocycloïde à trois rebroussements; en appliquant les formules qui précèdent, on verra que le centre de la courbe coïncide avec le centre du cercle des neuf points et que le rayon R est le triple du rayon de ce cercle.
Ce résultat est dû à Steiner {Journal de Crelle, tome 53).
Préface
