Soit une conique du réseau (7) réduite à deux droites
(1) A. Clebsch. Leçons sur la Géométrie j traduction Bexoist, tome II, p. 250.
M. PicQUET emploie l'expression de contr avariants.
D et D'. Ces deux droites sont des sécantes communes à deux coniques Ci et C2 du réseau ; en leur adjoignant une conique quelconque C3 du même réseau, ces trois coniques Ci, Cg, C3 suffisent à définir le réseau. Dans ces conditions, la droite D rencontre ces trois coniques en des points en involution ; par conséquent la droite D, comme la droite D', est tangente à la Cayleyenne du réseau (o).
Il en résulte que La Cayleyenne (Tun réseau tangentiel est l'enveloppe des couples de droites qui font partie du réseau ponctuel conjugué.
278. Corrélativement , le lieu des points tels que les tangentes issues de ces points à trois coniques données soient en involution est une courbe du troisième degré qui est la Hessienne du réseau ponctuel conjugué du réseau tangentiel défini par les trois coniques données.
La Hessienne d'un réseau ponctuel est le lieu des couples de points qui font partie duréseau tangentiel conjugué. ^*^
EXERCICES ET NOTES
1 . On considère deux triangles inscrits à nue même conique et on leur circonscrit deux coniques hitangentes : enveloppe de leur corde de contact.
Si les deux coniques circonscrites sont homothétiques, leur corde commune passe par un point fixe.
Les deux triangles donnés sont conjugués par rapport à une même conique C, à laquelle sont harmoniquement circonscrites les coniques considérées Ci et C2, et par suite toutes les coniques passant par les points communs à ces dernières ; en particulier les cordes communes correspondantes des coniques Ci et Cg sont des droites conjuguées à la courbe C. Par suite, si une de ces cordes
(1) Consulter sur ce sujet le chapitre vu du Traité de Géométrie A7ialytiqiie, de M. H. Picquet. Nous avons d'ailleurs emprunté à cet excellent ouvrage quelques-uns des exercices qui suivent.
est double, ce qui a lieu pour deux coniques bitangentes, elle est à elle-même sa droite conjuguée ; elle est donc tangente à la conique G qui constitue l'enveloppe demandée.
Si les coniques Ci et C2 sont homothétiques, la corde commune à distance finie passe par le pôle de la droite de l'infini, c'est-à-dire par le centre de la conique G.
2. Le lieu des centres des cercles de rayon donné, harmoniquement inscrits à une conique donnée, est une conique concentrique et homothétique à la coniqtie donnée.
3. Lorsqu'une hyperbole équilatère est harmoniquement circonscrite à un cercle ou inversement, celle des deux courbes qui est harmoniquement circonscrite passe 'par le centre de Vautre.
4. Le lieu des centres des cercles de rayon donné harmoniquement inscrits aune parabole est une parabole de même paramètre.
5. Étant données les équations ponctuelles de trois coniques,
01 = A 1072 -h A, y | a;'32 h- 2Biî/^ -h 2B;^£c 4- 2K^xy — 0,
Oo = A2a;2+A;î/2 4- =0,
on peut mettre sous une forme remarquable l'équation tangentielle de la Gayleyenne du réseau tangentiel conjugué du réseau ponctuel défini par ces trois coniques, c'est-à-dire l'enveloppe des droites coupant ces trois coniques en des points en involution.
La droite ux -h vy -{- icz z=: 0 sera tangente à la Gayleyenne si, jointe à une autre droite, elle fait partie du réseau
c'est-à-dire si l'on a l'identité
I^i?i + I^2?2 + f^3?3 = (^^«^ -\- vy -i- ioz){u'x-\-v'y -+- w'z)
ou
H^iAi -+- 1x2^2 H- {J^sAs — uu' = 0,
H^iAi -f- ix.2^'2 4- [JtsAg — vv' = 0,
[XiA'i -f- t^aAs H- [X3A3 — iow'=zO,
2[JLiBi H- 21X2B2 + 21JI3B3 — vw' — icv' =z 0,
2[XiB; + 2[A2B2 -h 2iJ.3Bf5 — wu' — uxo — 0,
2{JLiB;'-f-2{Ji2B;'-|-2[Ji3B3 — wv' — -y»' = 0.
Kn éliminant [n, \u, l^a, u', v', ic\ on a Al A2 A3 t* 0 0
Ai A2 A^ 0 r 0
2Bi 2B2 2B:> 0 w V
On yerrait de la même manière que le lieu des points d'où l'on peut mener des tangentes en involution aux trois coniques
fi z=z aiu^ -\- a\v^ + a'iw^ + 2bivw -\- 1h\wu + 2h'[uv = 0,
c'est-à-dire la Hessienne du réseau conjugué, est
a\ «2 a'3 0 ij 0
a'I al rt'( 0 0a
2bi 2&2 2&3 0 ^ «/
2b'[ 2bl 2&3 ?/ a; 0
6. Un réseau tangentiel renferme en général quatre cercles dont les centres sont les sommets d'un triangle et le point de concours de ses hauteurs.
7. Lorsque trois hyperboles équilatèr es ont deux points communs, toute droite perpendiculaire à la corde commune les coupe suivant six points en involution.
8. Considérons un réseau ponctuel défini par trois coniques ayant deux points communs B et G. En prenant pour triangle de référence le triangle ABC, A étant un point quelconque, les équations des coniques s'écrivent
atx^ -+- 2biyz -\- 2b[zx H- 2b'lxg = 0,
a-iX^ + 2b2yz -+- 2b!^zx + 2blxy = 0,
^3x2 + 2bsyz 4- 2b'^zx + 2b';,xy = 0.
Pour déterminer le réseau tangentiel conjugué, écrivons que la conique
aw2 p a't;2 | al'io^ + 2^vw + 2'^'wu -}- 2.3"wv = 0 ( l)
est harmoniquement inscrite par rapport aux trois premières ; on a
«la + 2&i|3 H- 26;tâ' + 2b'[^" = 0,
résolvons ces équations par rapport à ?, ?', p" ; on a des solutions de la forme
^ = ocA, p'= a'X, p" = aX",
X, X', X" étant fonctions des coefficients des trois coniques données. L'équation (I) devient alors
a, a', a" étant arbitraires, on peut donc considérer cette équation comme représentant le réseau tangentiel relatif aux trois coniques
ta + 2'hvic + 2'k'iDU + 2a"iiv = 0, v^ =z 0, 102 =: 0,
et la Cayleyenne de ce réseau a pour équation
[u 4- V'y H- >v'to) VIO = 0;
elle se compose de trois points ; deux d'entre eux sont les deux points B et C, le troisième est le point par lequel passent les cordes communes qui dans deux coniques quelconques du réseau ponctuel joignent les deux points de rencontre autres que B et C.
Soit 0 ce point ; on voit que le point 0 est le pôle de la droite BG par rapport à toutes les coniques du réseau tangentiel.
il résulte de là que les cordes qui divisent en involution les coniques du réseau ponctuel passent par le point 0.
Dans le cas particulier de l'exercice 7, ce point est à l'infini dans la direction perpendiculaire à la corde commune.
On peut reconnaître aisément que, dans le cas général, la lies, sienne se compose de la droite BG et d'une conique.
9. Supposons que les deux points B et G de l'exercice précédent soient les points cycliques ; les trois coniques données sont alors des cercles, et l'on sait que la Hessienne se compose de la droite de l'infini et du cercle orthogonal.
La Gayleyenne du réseau conjugué se réduit aux points cycliques
et au centre radical des trois cercles, qui est lo centre commun des coniques du réseau tangentiel.
10. Le lieu des centres des coniques d'un réseau tangentiel dont la somme des carrés des axes est constante est un cercle concentrique au cercle du réseau ponctuel conjugué. Cas où la somme des carrés des axes est nulle.
11. Note sur l'hypocycloïde à trois rebroussements. — Dans un grand nombre d'exercices résolus et proposés nous avons souvent rencontré comme enveloppe d'une droite variable l'hypocycloïde à trois rebroussements.
Je me propose, dans cette note, de montrer comment on peut reconnaître cette courbe d'après son équation tangentielle, et comment on peut en déterminer les éléments.
Si l'on prend comme axes de coordonnées deux diamètres perpendiculaires du cercle fixe, l'axe Ox passant par l'un des points de rebroussement, l'équation de la tangente en un point de la courbe peut s'écrire
• 9 ? R • 3? /. û7 sm jr-{-y cos -^ — sm —*- = 0 ;
on le voit aisément en faisant r z=z — dans l'équation de la
tangente à l'épicycloïde obtenue page 59. En conséquence, pour qu'une droite
ux -\-vy -^w = 0 soit tangente à la courbe, il faut qu'on puisse déterminer cp en sorte qu'on ait les égalités
u V — 3to
sin -^ cos ^ R sm — *- En éliminant 9, on obtient l'équation
10(1*2 + ^2) + ^ (3wv2 w3) — 0; (1)
on reconnaît sous cette forme que la courbe est de troisième classe, qu'elle est bitangente à la droite de l'infini (Ex. 12, p. 54), les points de contact ayant pour équation
c'est-à-dire étant les points cycliques.
Nous allons démontrer que, réciproquement, toute courbe de troisième classe qui touche la droite de l'infini aux points cycliques est une hypocycloide à trois rebroussements .
L'équation tangentielle générale des courbes de troisième classe touchant la droite de l'infini aux points cycliques est
w [u^ -{-V- — ^uv cos g) 4- ?(^S '^) = ^, (2;
0 désignant l'angle des axes de coordonnées, et o{u^ v) représentant un polynôme homogène du troisième degré en u et v, par exemple
cp(M, v) ^ au^ H- huH -\- cuv^ -+- dv^.
Pour établir notre proposition, nous transporterons d'abord l'origine des coordonnées en un point (p, q) choisi de telle manière que les tangentes issues de ce point à la courbe fassent deux à deux
des angles égaux à ^? c'est-à-dire qu'elles puissent coïncider avec les o
diagonales d'un hexagone régulier. Ensuite nous ferons tourner les axes de façon que l'axe des x se confonde avec l'une de ces tangentes, et nous verrons que l'équation de la courbe aura la même forme que l'équation (1).
En transportant Torigine des coordonnées au point [p, q), l'équation (2) devient
[w — up — vq)[u^ -\- v^ — 2wy cos 6) + cp (m, v) =z 0 ;
les coordonnées des tangentes à l'origine vérifient l'équation
— [up + vq){u^ -f- v2 — 2uv cos 9) -1- © (w, v) =z 0,
et leurs coefficients angulaires sont donnés par
— [pm — q)[m^ ->r 2m cos 0 -4- 1 ) -1- o(m, — 1) = 0. (3)
Cherchons maintenant l'équation aux coefficients angulaires de trois droites, telles que l'axe Ox fasse avec elles respectivement des
angles égaux a a, a -h— et a + -— •
Si m désigne le coefficient angulaire de la première, on aura
m sin 6 nzz t^ oc *
1 + m cos 6 ° '
on en déduit, en introduisant le symbole imaginaire i,
m (cos 6-4-^' sin e) + 1 i -\- i i^ a m (cos 6 — i sin 0) + 1 ~ 1 — e tg a ou
me^^ -h 1 .
me~»« -f- 1 '
on aura pour les deux autres droites
me~^^ -f- 1 me~'o -\- 1
Comme les cubes des trois seconds membres sont égaux à e*^^'», on
voit que les coefficients angulaires des trois droites vérifient l'équation
\me-'^ f 1 )
ou
e6ta(„,e-z9 j 1)3 (me^e + 1)3 — 0.
L'équation (3) devant avoir mêmes racines que cette dernière équation, on aura l'identité
— {pm — q){m^ + 2m cos 6 H- 1) + o[m, — 1)
= h [e6îa(me~»'o H- l)^ — (me»'" -h \'f].
En écrivant que les coefficients des mêmes puissances de m sont égaux, on déterminerait p, q, aei h; mais on peut calculer a sans déterminer p et q, il suffît de remplacer dans l'identité m successivement par les deux nombres — e^^ et — e~^^, qui annulent w^ +2m cos ÔH- 1 ; on obtient
cp(— e'o, — 1 ) = — /i(| e2î'6)3 ,
On déduit de là sans peine, après quelques réductions faciles, et en se souvenant que o{u, v) est homogène et du troisième degré,
9(1, e-«) Hi sin3 6 '
On en tire
-o(l,e--ej
