PROPRIÉTÉS DE DEUX ET DE TROIS COMIQUES

1 4 sin* 6

Nous obtenons ainsi le centre de l'b\po<:vcloUlo et les directions des tangentes aux point* de rebroussement.

En tenant compte de ce> hvnisformatit.ui?, l'éijiiatior] langentielle de la courbe peut s'écrire

«(«î + e* — 2mu cosh} + h[ e ^'[i/c-'" — v) s — [u#* — vf] = 0. Prenons maintenant pour axe des œ' une droite 0*' telle que ((te, (te') = a, et pour ase des y' une perpendiculaire à 0œ', telle que

Les formules de transformation île coordonnées >unt les formules [4) de la page 32, où l'on fait £=a-f--^ et ~k = 1 ; on a

u = u' cos (6 — et) -+- u' sin (0 — a),

Un voit aisément en faisant la substitution dans l'équation que « 5 + v l — 2m? cos 6 se transforme en (u' a -f- o' 1 ) sin s f> ; d'autre part, on trouve

we'"« — v — — sin Se !l (— iV -+- u') ;

Le radical est égal au module de l'expression <f(t, e'»); soit A ce module, on aura

A = ^H-kcos[JT-ceo7:>'JT~'cii7 :n/-i >~siîï b-i-cs.in ïm-,/ s'iTi :\V.- . et l'équation de la courbe s'écri t

»'!"" + »"] ± nïîn< 3 " v *-»"i = -

En comparant avec l'équation (1), on voit que cette équation rqiivsurilo nro.: Iiypocydolde a trois rebroussements, dont le rayon R du cercle fixe est donné par

En résumé, on voit que l'équation

w ht- -h v' — 2iic cos 8) -|- au 3 ■+■ bitH H

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représente une hypocydoïde à trois rebmusseinents : son centre a pour coordonnées

le rayon du cercle fise est égal à

, ..' ... f /:'«+?; c»s s -| ■■.■h-; -^ + ,;,- fl> :iij ■+:/; çiïïTr+TTiFïï^STn^ifT 7 ,

et Taxe des a; fait avec les tangentes de rebrousseinent les angles a définis par la relation

ft sin + c sin 20 + <f sin 30

[ S ■*''■ — a + È cos e + c cos ;?B -M cos 36 '

Dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, on a

3a-|-c 3fi+&

A titre d'exemple, reportons-nous aux exercices du Chapitre II, p. oi, et considérons d'abord l'exercice 2. On trouve la courbe qui a pour équation langonticlle

„(■.• + „>) + ta» <„ + ?«j = 0.

Cette courbe est une hypocycloïde ;i trois rebroussements, quels que soient a et ? (et non pas seulement dans le cas où la corde AB est un diamètre, comme nous l'avons dit à tort).

Le centre de cette courbe est le point l'a. S;, c'est-à-dire le centre du cercle considéré dans l'exercice, le rayon II est égal à 3 ^s^+pi c'est-à-dire à trois t'ois le rayon du cercle donné.

On voit également l'exercice G': que la droite de Sinison enveloppe une liypoeyeloïdc à trois rebrousse ineuts; en appliqua ni le^l'oni iules qui procèdent, on verra que le centre de la courbe coïncide avec le centre du cercle des neuf points et que le rayon R. est le triple du rayon de ce cercle.

Ce résultat est dû à Stelser (Journal de Crelle, tome 53).

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