PROPRIÉTÉS DE DEUX ET DE TROIS CONIQUES
L'équation tangenticlle générale des courbes de troisième clause touchant la droite de l'infini aux points cycliques est
li désignant l'angle des axes de coordonnées, et o(«, v) représentant
un polynôme homogène du troisième degré en u et c, par exemple
o(h, v) = ««' + S«% -+- eue" -f- dv>.
Pour établir notre proposition, nous transporterons d'abord l'origine des coordonnées en un point [p, q) choisi do telle manière que lus tangentes issues de ce point à la courbe fassent deux à deux des angles égaux à ^-' c'est-à-dire qu'ùlk'B puissent coïncider avec les diap.males d'un hexagone régulier. Ensuite nous ferons tourner les axes de façon que l'axe des x se confonde avec l'une de ces tangentes, et nous verrons que l'équation de la courbe aura la même l'on ne que l'équation (1).
En transportant l'origine des coordonnées au point (p, q), l'équation [2) devient
[w — up — vq){u< + e* — 2«o cos 8) -+- <f (m, t>) = ; les r.oo ['don nées dos lan^entes à l'origine vérifient l'équation
et leurs coefficients angulaires sont donnés par
— [pm — q)[m» + 2m cos 8 + <)+<? (m, — 1) — 0. (3)
Cherchons maintenant l'équation aux coefficients angulaires de
trois droites, telles que l'axe (te fasse avec elles respectivement des
Si m désigne le coefficient angulaire de la première, on aura
introduisant le symbole il »i(cos B-t-jsm 9) + i \
i pour les deux autres droite-
Gomme les cubes des trois seconds membres sontégaux à
voit que les cocfticienls auL'iihiro.s dos trois droiles vérifient l'équation
e «"( me -* + J) s -(*» e <«-M) 3 = 0.
L'équation (3) devant avoir mêmes racines que cette dernière équation, on aura l'identité — (pm — 9 )(m»-|-2mcos 8 + !) + ?(»>, —1)
= h [e 6ta (me-« + l) a — (me" + 1 j a j.
En écrivant que les coeftir.it-nis des mêmes puissances de m sont égaux, on déterminerait p, q, a et h; mais on peut calculer a sans déterminer p et q, il suffit de remplacer dans l'identité m successivement par les deux nombres — e"> et — e -1 ' 6 , qui annulent m 2 + 2m cos + 1 ; on obtient
<?(- «-", - i ) = fc^*»(l - <r»t)» .
On déduit de là sans peine, après quelques réductions faciles, et
en se souvenant que ?(w, v) est homogène et du troisième degré,
1 — i tg 3a a-hbe i0 + ce"" 3 ' 6 — ^u :i ''' 6 sin Q + csin 28-)-<isin 30 ° — a -+■ b cos 6 + c cos 26 -t- d cos 30 L'identité qui précède devient alors, en remplaçant A et e"** par ces valeurs, — {pm - j)(ms + 2m COS 6 + 1) 4- <?(»!, - 1)
le second membre pouvant s'écrire, développé,
. g [i» s [a(4 sin s 8 — 3} — 26 cos 6 — c] + 3»» s {d — 6 — 2a cos 8]
-t- im{c — a-\- 2d cos B") + &-4- 2c cos 6 -I- d(3 — 4 sin a 6)] . En égalant les coefficients de m-' et les termes indépendants, on obtient les valeurs de p et de q,
Hosted by
