Supposons maintenant que la courbe (r) soit du deu

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PBISCIPE DE DUALITÉ 49

xième degré; il en sera de mràu: de la courbe (C). Si x,, t/ 1( ;, désignent les coordonnées d'un point A quelconque non situé sur la courbe (r), l'équation (Ij représente la corde des conlacts des larigciitcs menées à la conique par le point A ; il en résulte immédiatement que l'équation (2) est l'équation du point de rencontre des tangentes menées à la courbe (C) aux points d'intersection par la droite (u u v„ iv,}. Far une méthode semblable, on voit que l'équation

« + < + «'A) a -4/K ». «'YK "i, «i} = est l'équation de l'ensemble des points de rencontre de la courbe (C) et de la droite («„ o„ u\).

Ces exemples montrent suffisamment combien le principe de dualité est utile pour étudier les propriétés des courbes définies par leurs équations tangent ielles.

Voici encore une autre remarque fort importante dans la transformation des propriétés métriques des figures.

55. Le rapport anharmonique de quatre points m ligne droite est égal a>t rapport anharmonique des quatre droites eoneourantes qui leur correspondent.

Soient x h y-,, s, (i = 1, 2, 3, 4) les coordonnées des quatre points supposés en ligne droite ; leur rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des droites qui joignent ces points à l'origine, c'est-à-dire à

Les droites correspondant aux quatre points ont pour équations

nt leur rapport anharmonique ne change pas si on substitue à ces droites des parallèles menées par l'origine ; les coefficients angulaires de ces droites étant -) le rapport an-

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harmonique sera

yi "*" g» . Wj g? ou V^ — x,y, y& 3 — x,y 3 .

il est égal au précédent et le théorème est démontré.

56. En particulier, si quatre points en ligue droite forment une division harmonique, le faisceau des quatre droites correspondantes est harmonique.