Supposons, comme application, que l'équation
fl*. y, =) = o
représente une conique ; on sait que la relation
*iO.-*-yifl. + tin. = a
exprime que les deux points A, [x u y„ z,) et A a (x 2 , yi, z 3 ) sont conjugués par rapport à la conique, c'est-à-dire que la droite A ( Aî rencontre la conique en deux points conjugués harmoniques par rapport à Ai et k%.
Considérons la courbe correspondante,
/'(«, », «0 = 0; la condition
«i/i + ei/i + 11^ = exprimera que par le point de rencontre des deux droites 4 j (»i, v it tv,) et Aj (i^, »j, M.*ï) on peut mener à lacourbe deux tangentes conjuguées harmoniques par rapport à ces deux droites ; par analogie on dira que les deux droites A, et i s sont conjuguées par rapport à la conique.
58. On peut remarquer que celle transformation est un cas particulier de la transformation par polaires réciproques ; il suffit de prendre comme conique directrice la conique imaginaire
x- + y*-hz 2 ~ 0.
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En effet, la polaire d'un point (x, y, z) par rapport à celte conique a pour équation
Xx^r Y'j + Zz = 0, et par conséquent les coordonnées de cette polaire sont égales aux coordonnées de son pôle.
Dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, cotte conique directrice est un cercle imaginaire dont le carré du rayon est égal à — i ; la polaire d'un point A est perpendiculaire à la droite OA, rencontre cette droite en un point B situé par rapport au point du côté opposé au point A, et le produil des longueurs OA et OB est égal à 1.
Il résulte de là que, si deux droites font un certain angle, les deux points correspondants sont vus de l'origine des coordonnées sous un angle égal ou supplémentaire.
Dans tout ce qui suivra, nous ne ferons pas usage du principe de dualité, nous établirons directement les propriétés des équations langentielles, laissant au lecteur le soin de les obtenir à l'aide du principe, quand la transformation sera simple.
EXERCICES ET NOTES
1. Pour trouver l'équation tangentielle de l'enveloppe d'une droite, une méthode très simple consiste à se donner l'équation de cette droite, uœ-t- vy-i- w = 0, et à écrire les conditions auxquelles est assujettie celle droite. Dans certains cas, on obtient iniiiiLiliatonient une relation entre u, v, w qui est l'équation cherchée ; dans d'autres cas, on peut avoir à éliminer certains paramètres avant d'obtenir l'équation de l'enveloppe.
2. On donne un cercle et une corde AB, on joint le point A à un
poial \l qii.clcdnciue du cercle, on mène enmito MC faisant avec Ali le même angle que MA, mais en sens inverse. Trouver l'enveloppe de MC.
Prenons pour origine le point A, pour axes AB et une perpendi-
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52 COORDONNÉES TÀNC.E.YL'IELLES. GÉOMÉTRIE PLANE
culaire. L'équation du cercle est
œ'+ï 2 - 2t.x — apy = 0.
Soit «» + vy + w = l'équation de MC ; je forme l'équation des droites joignant l'origine aux points de rencontre de MC et du cercle,
w(^ + ^) -+- 3{*s -i- ?y)(t^ + a/) = 0, et j'écris que l'une de ces droites a pour coefficient angulaire celui de MC changé de signe ; on obtient ainsi
W (U* + t.*) + 4wi)( a U -+- r u) = 0,
équation taiiL'cnLielk d'une cmirbe de troisième classe, ayant 1 roi s points de rebrousse m en t.
Dans le cas particulier où A6 est un diamètre, l'enveloppe est une hypocycloïde à trois rebruussements.
3. On donne un triangle ABC, on le coupe par une transversale
qui détermine sur les côtés Ou leurs prolongements -û; serments tels que le produit de trois d'entre eu.r. mm consécutifs s-.Ue constant. Enveloppe de la transversale.
En prenant deux côtés du triangle pour ases, on a pour équation tangentielle de l'enveloppe
v>(ua + w)(u6 -+- w) = K s uv{ua + vb\ représentant une courbe de troisième classe tangente aux côtés du triangle.
4. Enveloppe di.:s us[/m;,lijU:s des lii/pcrhole' puisant par quatre points.
On forme l'équation p-néralt! ponctuelle de ces coniques et on écrit que la droite utc + vy + w — rencontre ces coniques en
deux points à l'infini,
5 . Par un point fixe pris sur la circonférence d'un cercle, on mène deux cordes 0A, OB dont le produit est constant; trouver l'enveloppe de la droite AB.
6. Un triangle est inscrit dc.ns iu>e circonférence ; on sait que les pieds des perpendicnku.res ''baissées d'an point quelconque À de la circonférence sur les trots côtés du trin.nglc sont en liijne drù'te. Tro-tver l'enveloppe de cette droite qu .nd le point A se déplace sur la circonférence.
On prend deux côtés du triangle pour axes, on forme les équations des droites perpendiculaires aux axes au* points où ces axes
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PRINCIPE DE DUALITE 53
sont rencontré- par la droite ux -4- vy -+- w = 0, et on écril que !c point de rencontre de ces perpendiculaires est sur If. 1 cercle circonscrit. On trouve que l'enveloppe a pour équation tangentielle u,(t,i + c a g Me cos fi;, __ „„£„(„ C os S — 6) + v[t> cos B — «)] = 0.
7. On donne, un point sur une circonférence, et. l'on demande l'enrelopiie de cordes AU, telles qt'.e le triangle OAB ait une mrfo.ee donne". Mtvximi'.Vii de. eette surface ; que devient /.'cnvc-op/i-: d.o.iis ce cas particulier '!
S. Équation tangentielle de la courbe y = e 1 .
9. II est en général difficile île construire une courbe représentée par son équation tangentielle.
Dans le cas particulier où l'on peu! résoudre l'équation par rapport à l'une des variables u, v, w, les coordonnées du point de contact d'une tangente
■ /£' y fi,'
peuvent s'exprimer alors en fonction de deux variables seulement ou mieux du quotient de ces deux variables ; on peut alors aisément construire la courbe. En voici un exemple simple :
On trouve que l'enveloppe d'une droite qui coupe un folium de Descartes [x 3 -+- y 3 — Zaccy = 01 et l'une des tangentes au point double (l'axe Ox) en quatre points conjugués harmoniques est f{u, v, m) - 2ahivw — 2a»u* — w 3 = Q;
:l par suite
3ah
fi W (»i-4«W)
fi 3aWu
~fi !!u(« 1 u'-»'] ,
V fi 2l aV~ W »]
Posons — = ( ; il vient
Il sulïil. alors de faire varier .
: de
dx —(fi-^Èii'-'r
dy 3am» ■+■ 2a?\
dt ~ 2[a' — ï>} 2 '
dt ~ 2{a« — t s ) s
On a trois point- de rebroussement, correspondant aux racir
l'équation
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JÉES TA>'GE\"1ÏELLES. GÉOMKTRIE PLAKE
t» + 2a» = ; n seul de ces points est réel.
On pouvait d'ailleurs trouver ces points de rebrousse m ont en résolvant les équations
f(v, », w) — 3a'ww — 2a 3 u* — iu J = «t
H= f"u f~> f™ = S4»*(»»H-2a'«» + a*Mww) = 0.
10. Étant donnée une. série de rom-bes vueiables dont l'équation 'unjjei'ïi.iellii renferme un paramétre )., f{u, v, w, 1) = 0, on ohlienl l'équiiliùri l.anienlielle. de l'enveloppe (le ces courbes en éliminant X entre les équations
f[u, v, w, 1) = 0, fl«,.,»,l) = 0.
11. On donne un triangle ABC, en joint le sommet A à un point S pris sur le côté opposé. Soit M fe milieu- de AN, oh jii<;«e ïi?.î drnilcs RM !?( CM çui rencontrent respectivement AC ei AB ère P et Q. Enveloppe de, la droite PQ quand- X (/«crit £a droite RC,
12. La condition nécessaire et suffisante pour que la droite de l'infini soif lan trente multiple d'ordre ;> d'une courbe nJiiélirii'iue est qu'en ordonnant l'équation langenlielle par rapport aux puissnne.es de w, le plus haut exposant de cette variable soit égal à >n—p, m désignant la classe de la courbe.
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PRINCIPE DE DUALITE 50
Par exemple, si la droite de l'infini est tangente multiple d'ordre m — 1, l'équation s'écrit
?,„(», «) + »?«-,(*, *) = 0, les fonctions o étant homogènes et de degré indiqué par l'indice,
