SECOND DEGRÉ

' sin G '

On peut alors développer les deux premiers termes ; il vient

Or, «i, o„ w, et «s, t) s , «'. étant les coordonnées des axes, les coefficients do u'v\ u'm' et v'w' sont nuls. De plus, nous avons vu (125) que

t\ = 2S,(u, — u, cosO), ft t = SSiju, - «t cos 0), A, - 0, S, désignant une racine de l'équation

F(S) = 4 — S(A + A' — 2B"cosO)-4-«"S 2 sin 2 = 0. En multipliant les trois équations précédentes respectivement par u„ v„ m„ et ajoutant, on a

Mi/ï t + »i/ï 1 H-«'ift = 2S,(m^ -+■ »> — 2u,Ci cos 0) ou

On aurait de même

/"(«s, Ci, Blj) = S 3 , et l'équation réduite est

S.u'i -f- S a c' s -h -£— w" = 0, sin J 6

S] et S s désignant les doux racines du l'équation en S qu'on

peut aussi écrire

a —S b"~\- S cos fi (y'

Ô*-I-Scos0 a' — S fi =0

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14(1 COORDONNEES TAXaENTIELLES. (ÏÉOMÉTUIE PLAN'Il

On en déduit immédiatement l'équation ponctuelle de la conique :

x' a y'- siu-

135. On peut, en partant de cette équation, retrouver les conditions pour que l'équation donnée représente une ellipse ou une hyperbole.

Pour que l'équation réduite représente une ellipse, il faut que S, etSj soient de même signe, c'est-à-dire que le produit des racines de l'équation en S soit positif.

On a ainsi

Pour que l'ellipse soit réelle, il faut que les doux racines soient de signe contraire à a". Or la somme des racines est (À-t-A' — 211" cos 0} a' sin s G '

on devra donc avoir

A + A' — 2B" cos <U.

Or, il est aisé de voir que le premier membre de cette inégalité a le signe des deux quantités A et A' ; il nous suffît de démontrer que l'on a

| A -+- A' | > | 2B" cos | ou

(A + A'J 2 — 4li" 2 cos- 0> t) ou encore

A 2 -H 2AA'{1 — 2 cos* 9) + A'» -+- 4(AA' — B"*) cos 2 > 0. Or le trinôme A J -+- 2AA' (1—2 cos- 6) -h A' 2 est toujours positif, ainsi que le coefficient de cos' 0.

On en conclut que l'ellipse est réelle si A ou A' est négatif, et imaginaire dans le cas contraire.

La conique sera une hyperbole si S, et $ 2 sont de signes contraires, c'est à-dire si

Tous ces résultats son! contenus dans le lableau qui termine le numéro 98.

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RÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEOIiÉ 1 i~

Si sin 3 fl