RÉDUCTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ

134. Etant donnée l'équation tangentielle d'une conique rapportée à des axes quelconques srOy ïaisant l'angle 9, nous nous proposons de trouver l'équation tangentielle de cette même conique rapportée à ses axes si cette conique est une ellipse ou une hyperbole, à son axe et à sa tangente au sommet si la conique est une parabole.

Premier cas. a" ^tO.

La conique est une ellipse ou une hyperbole.

Dans ce cas la conique admet deux axes dont les coordonnées satisfont aux équations

u — v cos v — u cos 8

Ces coordonnées sont déterminées à un facteur constant près ; nous pouvons nous donner a priori une relation entre ces quantités ; nous les assujettirons à la condition w 1 -+- u 1 — 2uu eos = 1, Nous désignerons par

U^X -+- OïV -+■ W} =

144 COORDONNÉES TÀÎÏGE.NTIKLLES. — GÉOMÉTRIE PLANE

les équations des deux axes avec les relations

u; -t-u? — 2WjB. cos B = 1,

UÎ-HOÏ — 2Mal)i COS 6 = 1.

Nous prenons ces droites pour nouveaux axes de coordonnées, la première pour axe des y' et la deuxième pour axe des x .

Nous désignons par x, y et x\ y' les coordonnées d'un même point par rapport aux deux systèmes d'axes.

Les coordonnées a/ et y' d'un point sont égales, au signe près, aux distances de ce point aux deux axes de la conique. Nous aurons donc, en choisissant convenablement les direc- ■tions positives OV et O'y',

x' = (m, a: -+- v$ -+- io,) sin 0, y' = (u^x -+- im/ m- iv 2 ) sin f J, en tenant compte des relations (1).

Soit alors

u'af -+- n'y' -+- w' =

l'équation d'une droite par rapport aux axes x'Q'y'.

Cette même droite aura pour équation par rapport au premier système,

u[u,x + v,y -h w t ) + v'fax+vfl -+- »,) + ^ = ou

xiu.n' -+- «,o') -+- y («,«' -i- »,»') -+- w t w' -f- w a w' -+- ^-g = :

Si donc w, v, m désignent les coordonnées de cette droite dans le premier système d'axes, on aura, à un facteur constant près,

U = Ui«'+« a «'i

iv = w, u' -+- w 2 v' -H - — - sin fl

L'équation de la conique devient alors

ffuiu' + vtv', OiU' + o,»', ie,u' -+- jojo' H- -^— ) =0. ' \ sin 0/

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REDUCTION DE L ÉQUATIO

On peut l'écrire

/'(U,t/-t- M s t/, V t u' -t-Pj»', (l.'id' ■