Deuxième tas. a
La conique est une. parabole.
Les équations (i) qui déterminent les foyers deviennent — 2Ô'^-4-26;/-t-a — a! = 0, 1 — bx ~ à'y ■+- ¥ = 0; \
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elles sont du premier degré ; la parabole n'a donc qu'un foyer, comme nous l'avons déjà vu.
Le déterminant du système est 2(ù' 3 -\- b 2 ); il n'est jamais nul, car b et b' ne sont pas nuls en même temps. En résolvant, on a
ia — a>)V + U6r X ~ 2(^ + 6") (a — g<)b~<2b'// V ~ 2(6 2 -+- b")
ce sont les coordonnées du foyer.
151. Les équations (3) représentent deux droiles rectangulaires passant par le foyer. L'une d'elles a pour coefficient, angulaire — -, i et nous savons quo l'axe a pour coefficient
par les équations (3) font avec les axes de coordonnées les mêmes angles en sens inverse que l'axe de la courbe et la tangente au sommet.
152. Un pourrait déduire de là l'équation de l'aie, en prenant une ilroile quelconque passant par l'intersection des droites (3;
— 2b'a; + 2by-\-a — a' + t. {—bx — b'y+V) = 0,
et en déterminant i en sorte que cette droite ail pour coefficient
et l'équation de l'axe devient
comme on l'a déjà Irouvé a
153. Si la tuurbe est rapportée à son ave et à sa langi'nle a met, son équation est
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FOYERS ET WRECl'MCES
? peine que les coordonnées du foye
154. Les équations qui déterminent les foyers d'une conique renferment linéairement les coefficients de l'équation tangentielle de cette cooiiiue. Par conséquent, dans la recherche de lieux, géométriques de foyers, il y aura souvent avantage à définir la conique variable par son équation fangentielle, surtout quand les conditions imposées ;i celte conique s'exprimeront simplement à l'aide des coefficients do celle équation ; par exemple, si la conique est assujettie h être tangente à de? droites, les points de contact étant fixes ou variables; à avoir son centre en un point donné; etc.
155. Applications. — 1° Lieu des foyers 'les coniques tangentes
Nous prendrons pour axes les droites passant par le centre du
[t-iniSlélosn-imiine ut parallèles aux cotés; les équations do ces côtés
seront
Écrivons que ces droites sont tangentes à la conique
f[u, v, 10) = au 1 + a'v* -h a"io s -+- 2bvv> -+- a&'iow + 2b"uv = ;
il vient
a -+- aV — 26'a = , a -j- o'a» + 26'a = 0,
e que ces coniques oui pour centre l'origine, et
llemplaçons dans l'équation a et a' par leurs valeurs — «"a 2 et — «"{«•** +pM — ic s ] + 2&"kt> = 0;
a a l'équation généra
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dérées,
a'u 2 -+- p*»* — w" + 2>,wu = 0.
Pour avoir les foyers de cette conique, on peut, soit écrire les t'rjiiii lions (!) du numéro 141, soit former directement réijuril.icii aux coefficients angulaires des tangentes issues du point {ai, y), et écrire que ces tangentes sont parallèles aux droites isotropes. On trouve ainsi que les deux équations
a i m s + jjî [ y — mx f - 2lm - 0, m' + SmcosQ + 1 — doivent avoir mêmes racines, ce qui donne
En éliminant a entre ces deux équations, on aura l'équation du lieu. Cette élimination est Imite faite: on a «> — y* = a" — P 3 , qui représente l'hyperbole équilatère circonscrite au parallélogramme.
2" Lieu du foyer d'une jia-rnbole de i/randeur constante qui se déplace en restant tant/ unie à demi; droites rectangulaires. Prenons les droites données pour axes. Soit
f(«, e, v>) = aw a + aV + 2^iuH-26'wM-h2fr"«p = l'équation de la parabole : pour qu'elle soit tangente aux axes, il faut qu'on ait
Écrivons que le paramétre est égal à p; on a (137) 2bb'b°
et le foyer est déterminé par les équations
On aura le lieu du foyer en éliminant b, b' et b" entre ces trois Des deux dernières on tire
nplaçons dans la première, qui peut s'écrire
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h, b', b" par des quantité* proponiunnelles ; on a
OU
pHx 1 -h t/*) — 4œV.
a? y* ~ p*' équation d'une Kretccurce aisée à construire.
156. Directrices. — On appelle directrice relative à un foyer la polaire de ce foyer, ce qui revient à dire que la directrice est une droite telle que les tangentes menées à la conique aux points de rencontre avec cette droite soient parallèles aux droites isotropes.
Proposons-nous de déterminer anah tiquenicnl les coordonnées des directrices.
Soient (m, «, w) une directrice et (u„, v a , w ) une tangente dont le point de contact est sur la directrice ; on a ««,,■>,, «.) = 0,
en Éliminant w a entre ces deux équations, nous aurons
équation qui détermine les coordonnées w et o des languies aux points de renconlre de la courbe et de la directrice.
Tout revient à écrire que cette équation a mêmes racines que l'équation
K-+- V l — 2t Vo cos = 0.
L'équation précédente, développée, s'écrit
™jA'.' + <•'#'.' + «>,/: + »,/■;)■ - H'ji !«/: + «M
— %b'u,f:,{u,f'. -+- »,/■;) + 2*x»ofi'' = »■
On aura donc
Ces équations déterminent les coordonnées des directrices.
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Elles peuvent s'obtenir plus rapidement en remplaçant dans
les équations ;'tï qui donnent les foyers, x et y par jj et -r? i puisque toute directrice est polaire d'un foyer.
157. Cherchons l'équation de la directrice de la parabole, les axes de coordonnées élan! rectangulaires.
On aura pour déterminer les coordonnées de cette droite les équations
- 1b' fi -+- 26A -t- (a - d)f' u = 0,
— ft/L—f/: +**/! = o;
en remplaçant les dérivées par leurs valeurs développées, on obtient
En résolvant ces équations et en supprimant le facteur i, on obtient
W 26 —(a -h a ') L'équation de la directrice est donc
158. Théorème hé Steiser. — Si cm triangle est circonscrit à une parabole, In point de concours des hauteurs est sur la dirntrîce.
Prenons pour axes uncôté AB du triangle et la hauteur issue du sommet opposé C.
Soient i et ?, les (abscisses des points A et B, y l'ordonnée du point C ; les droites AC et CB ont pour équations
L'équation d'une parabole inscrite dans le friande AI1C sera de la forme
au 3 + «V + $b™ -I- 2b'wu + 2b"uo = 0,
avec les conditions
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l'O^ni'IS F.T DIRECTRICES I ; 1
a* Y p + Py~-°- Multiplions les deux dernières respectivement par 7 et £, puis l't'l [^ridions membre à membre ; on obtient
ce qui prouve que la directrice qui a pour équation
\<à~-~<; parle point iti, - j, c'est-à-dire par le point de eoncoui's
des Iiauteur.i du triangle Alli!.
Oïl trouverait sans difficulté à l'aide des mêmes équations- que le lieu des foyers est le cercle circonscrit ;m triangle ABC.
159. On peut trouver par un procédé plus rapide l'équation de la directrice de la parabole, en considérant cette droite comme le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes rectangulaires à la courbe.
On sait que ce lieu est un cercle, appelé cerck wthoptique. truand la conique est à centre, et la directrice quand la conique est une parabole.
l'équation langentielle de la conique.
L'équation aux coet'ficienls angulaires des tangentes menées par le point (a;, y) à la conique est (147) m'(tfx 3 — "2.b'x+a) — 2m (a"xy— lix— l/y-i-b")+a°y a — 2ii/-Hi' = .
Pour que ces tangentes soient perpendiculaires, il faul qu'on ait
«V— ît'x+a+a"!/' — 26;/-f-a'-l~2(a"a;i/ — bx — b'y-\-b°) cos = ou a"(x 3 -i-2xy cos 6 -t-y*) — 2x(b' -h b cos 0) — 2y(i -t- 1/ cos 0)
équation d'un cercle, si a" -£ 0.
Dans le cas où a" = 0, cette équation représente une droite, qui est la directrice de la parabole,
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172 COOH DONNÉES TANGESTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE
lx(f/ + b cos Q)H-2i/(6-i-(/co8 0) — {a-)-a' + 26"cos 0} = 0.
Si les axes de coordonnées soûl perpendiculaires, l 'équation du cercle orthoptique est
«" (a; 3 -+- ?/ a ) — 2*'jî — 2% -+- a -4- a' = 0, et celle de la directrice
Wx-\-1by — (a-i-a') = 0.
