Nous n'insisterons pas ici sur les propriétés connues
des foyers el des directrices dans les coniques, propriétés qui s'établissent pour la plupart à l'aide des formes réduites.
Nous terminerons ce chapitre en cherchant l'équation tangenlielle d'une conique qui a pour foyer le point (ï. $), pour directrice la droite
et pour excentricité <;, les axes de coordonnées élan!, supposés rectangulaires.
L'équation ponctuelle de cette conique est
( .. y+ (y- ff - gfig+M+a£ = e.
Nous nous appuierons sur ce que les projections du foyer
sur les tangenf.es sont situées sur un cercle bitangent à la conique, la corde des contacts étant l'axe perpendiculaire à la directrice. L'équation do ce cercle est
fa ^ gy+(y -^"(»o'H-v^.)',^(^)-^-P);' =
ou
(ul -+- vl)[{x — *y + [y - pf - e*{u B x + v y + w )*
Soit une tangente quelconque à laconique ux -+- vy -+- w = ; les coordonnées de la projection du foyer sur celte tangente
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en écrivant que ce point est sur Je cercle, on a l'équation demandée.
On trouve ainsi
f"ii+^j'«^J^< „>!"„ -, , ,. .„ ','»+«'i-.- f;f»Ho+yi.- 1 ,' ,1»
ou, en chassant le dénominateur u 2 -hv 2 et divisant par
(u u a-M>„p > -Ht' ; ! (w î +t! B )— (usH-u!3-Hf>) s (wj{+t>3] ( M a+yp+Mj)(u a+!) 3-(-W )(uw (| +j!y o )=O (4)
ou encore
;f«B - W,)l- (BW - K.'« )] s + [(«B - ««„)?- («Ho - uw )y
Si le foyer es! a. l'origine, celte équation devient ( Vw<i - WVq )* -h ( WU( w^)" — («i+°i)w J =
161. Ces résultats peuvent s'obtenir à l'aide du principe de dualité (;iO et suivants).
Les points cycliques correspondent ans droites isotropes passant par l'origine, de telle sorte qu'à un cercle correspond une conique avant pour foyer le point 0; de plus, au centre du cercle, pôle de
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174 COORDONNÉES TASGENTIErj.ES. fiÉOHÉTRIE PLANE
la droite de l'infini, correspondra l;i polaire du foyer, c'est-à-dire directrice.
1, 'équation d'un cercle peut s'écrire
^ as )î + (y &î)s !(«*>=(}; la courue correspondante aura donc pour équation langenlielle (« — aw) 2 + (v— bto) 3 — R s w 2 = 0.
Si «„ v„ iu désignent les coordonnées de la directrice, on au en vertu de la dernière remarque,
de telle sorte que l'équation générale de* coniques avant pour foy l'origine et pour directrice la droite («„ v„ io ) est
D'autre part, un sait que l'excentricité est ép'de au quotient de distance de l'origine au centre du cercle par le rayon ; donc
et l'équation précédante s'écrit
Si l'on suppose maintenant que le foyer n'est plus a l'origine, mais a pour coordonnées a et p, on transportera l'origine des coordonnées au point (—a, — P) ; il suffira de rein]ilacer dans l'équation précédente 10 par ua + np+w et w„ par w a + Pi34-ie n , si l'on veut que la directrice ait encore pour équation
dans le nouveau svstème d'aves.
On obtient alors l'équation trouvée plus haut, [(u „ OMo)a {tW| . „„, i^ + [( MV( , 0l( „)s. (MMo Mt0| ,)- 5
162. Dans lu cas de la parabole, on a e = i, et l'équation (4) du numéro 160 devient
!«■ + 1> ! )( v + r,p -+- »,) - s(i» + »p -+■ »)(«», -+■ wj = o.
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FOYEHS ET DlliCCÏlil' i:H
EXERCICES ET NOTES
i. On considère toutes les paraboles conjuguées par rapporta un triangle : dé,,iontrer que le foyer est sur le- cercle des neuf points et que la directrice pusse pur le centre du cercle circonscrit.
Prenons pour axes deux côtés du triangle ; l'équation générale des paraboles est (118}
m[mœ + 2w>) -+• i*t>(vp -+- Sic) — 0.
