Étant donnée maintenant l'équation d'une droite
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J56 COOmio^ées TAXOE.vriEi.i.F.s. — fiÉo.ïiji'ntiE plaxe on pourra l'écrire en introduisant les coordonnées trilatéres, u(A 1 X+A a TH-A a Z)+o(B t X+B î Y+B J Z)+w(C,X4-C a Y-HC 3 Z) = ou
UX + VY+WZ— 0, en posanl
AU = A.u + BiB + CiW, \
AV = A s w + B,b + Cw, [ (3)
AW= A,« + B S B + C s ii', J A étant un nombre arbitraire.
On en déduit
/,y = 6 i u+ô 2 VH-6 a 'W, ( (4)
/,'«; = C] U + C 2 V-+- fjW. )
Nous dirons que les nombres U, V, W sont les coordonnées tangentielles trilatéres de la droite.
Les formules (3) et (4) penne tient de déduire les coordonnées trilatéres des coordonnées homogènes et inversement,
En raisonnant comme nous l'avons fait plus haut, on voit que l'équation tangenliolle d'une courbe,
pourra s écrire
/{fliU+^V + a,W, ô.U-f-AiV-h^'W, Cl U + c,V-i-c s W) = 0,
et, réciproquement, toute équation de la forme
? (U, V, W) = sera l'équation tan gen fi elle d'une courbe, puisqu'elle pourra
s'écrire
? (AiM+B,«4-C,M), Aati-i-BîW + CïW, A,« + B,o + C,w) = 0. Les degrés des équations transformées ne sont pas altérés; il en résulte par exemple que
aU + pV4-yW = est l'équation d'un point, ce point ayant d'ailleurs pour coordonnées trilatères s, fi, y.
COORDONNÉES TRILATÈRES 257
De môme l'équation
a U B +«'V J H-<x'W i - r -2pVW-H2§'WU4-2p 1 'UV = est l'équation tangentielle d'une conique.
En résumé, on voit que les coordonnées trilatères d'un point sont des fonctions linéaires et homogènes dos coordonnées homogènes de ce point, et toute équation homogène de degré m entre les coordonnées trilatères d'un point représente une courbe de degré m.
De même, les coordonnées trilatères d'une droite sont des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées homogènes de cette droite, et toute équation homogène de degré m entre les coordonnées trilatères d'une droite représente une courbe de classe m.
228. Gomme nous l'avons vu plus haut, l'équation du point est
Étant données les équations de deux points, p = I U+3V + -/W = 0.
P' = x'U-t-p'V-r-fW = 0,
l'équation générale des points situés sur la droite qui joint ces deux points est
),P +Ii p' ^0;
cela résulte de la démons Ira Lion donnée au numéro 17, attendu qu'on peut considérer P et P' comme fonctions linéaires de
Nous désignerons par AlîC le triangle de référence; les sommets A, U, C ont respectivement pour équations U = 0, V=0, W = 0;
les points du côté BC ont pour équation générale XV + [*W = ; XW+fiU = 0; AU + fiV = 0.
ceux du côté CA, et ceux du côté Ali,
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En raisonnant comme au numéro 10, on démontrera que l'équation du point de rencontre M des deux droites Ai et a a qui ont pour coordonnées trilatêres U,, \,, W, et U 2 , V,, "W s ,
«t par suite les coordonnées d'une droite quelconque passant parle point M sont
U = 1U, +i*Uî,
V =\V, h-jjiVs,
Le
W - XW, + jjW,.
même signiiication qu'aux numéros 12
rapport et 13.
Si, en effet, u„ v„ w, et u», « s , ta 9 désignent les coordonnées homogènes des droites A, et a ? , on a, à un facteur constant près,
Ui :
V, = AsU, •
- CjHI,,
U 2 = A,u 2 -*- B^j -+- Cit's,
V a = Ai«j -h BïDî H- C,Wî,
A B Wj h- B 3 u 2 -h Cjîi's ;
Wj
on eu déduit
U = A,(Xu, ■+■ ;iw 2 ) -h B,(X», + |io s ) -h C^Xie, + p.«i s ),
V = A s (XWi + pu*) -H B,(1bi + n«j) -i- Cï(XWi -+- |Mt'i),
W — A,(X«, ■+■ jw a ) -+- B 3 (Xw, -h i«i s ) -+- CyXœ, -+- (iM'j).
Ces équations monlrent que la droite qui a pour coordonnées
trilatêres U, V, W apour coordonnées homogènes Xu t -t-pu t ,
Xoi + jAUs, XtUi -+- fjiK'î ; par conséquent cette droite t'ait avec i s
et i, des angles dont le rapport des sinus est proportionnel à
IrJ m
Quand - conserve un sîsïik; constant, lu. droite a se meut dans un angle df-tenniné des deux droites A, et X, maïs dès que - change de signe, la droite a change d'angle (12).
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COORDONNÉES TRILATÈRES 259
Enfin, étant données deux droites a et a' passant par le point M et ayant pour coordonnées XU, + nUj ),Vi-h[iY 3 , ÀW.+ nWs et l'Ut + i/U,, X'V 1 + ( ji'V a , A'Wt + fiTVa, l'un
des rapports anliarmuniquos dos quatre droites A, A', A,,
, À V . „ X 1' A, est - : -, et si 1 on a - = ;. les droite* a .■[ a sont
conjuguées h;ii , iiiuiii(.|Uf;s desdroil.es A, et A,.
Considérons par exemple deux droites passant par le sommet A du triangle de référence ; leurs coordonnées seront
0, V, W et 0, V W ; elles seront conjuguées harmoniques
V V par rapport aux côtés A M et AC si les deux rapports — et — ;
sont égaux et de signes contraires.
