Tout ce que nous avons dit au sujet de l'équation do
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IrilatOrns s'obtient ions
âtiO COORDONNÉES TASGEXTIELI.ES. — GÉOMÉTBIE PLANE
l'ensemble de deux pointa (numéros 23-2!)) subsiste inté.gralement, excepté toutefois ce qui a rapport aux points à l'infini.
On obtient les même* résultats eu ce qui concerne le pôle d'une droite par rapport à deux points. On peut même reconnaître que l'exercice du numéro 30 est résolu à l'aide de coordonnées trilatères puisque P, Q, R désignent les premiers membres d'équations de points, c'est-à-dire des fonctions linéaires et homogènes de u, v, ?v.
231. Étant donnée l'équation langontieile dune courbe f(V, V, W) = 0, son équation ponctuelle en coordonnée en éliminant U, V, W et >. entre les éqt fi—l\ = 0,
ft — VA = 0, UX + VY-t-WZ = 0.
Si l'équation est du deuxième degré, si l'on a f{U, V, W) = «U ! -i-a'V^«"W 2 +26VW-i-2è'WU+26''UV = 0. l'équation ponctuelle s'écrira
AX* + A'Y 2 -+- A"Z S -+- 2I1VZH î supposant, bien entendu.
Tout ce qui a rapport aux tangentes, aux p'jints de contact,
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C001ÏDOXXÉES TR1LATÈRES 261
aux pèles et polaires dans les coniques, à l'intersecîion de deux coniques, en un mot à toutes les propriétés descriptives des figures se traite de la même manière en coordonnées homogènes et en coordonnées trilatères.
232 Coniques inscrites dans le ii-iunglo de référence. —
En écrivant que l'équation
aU 2 -i-a'V 2 + ( 1 "W i +2/A'W+2i'\VU + 2i"UV = est satisfaite par les coordonnées des cotés du triangle, on obtient
il en résulte que l'équation générale cherchée peut s'écrire 2ÔVW + 26 r WU-+-26°UV = 0.
L'équation du point de contact d'une tangente U„, V , W c sera
4(VW„ ■+- WVJ + 4'(WU, + U\V ) + Ô*(TJV D -+■ VU D ) = 0. Parexemplelepointdecontact A' ducoté BC (V = W D = 0) aura pour équation
i'W+i'V = ou
Il en résulte que les coordonnées de la droite AA' vérifient l'équation
ti h b et la symétrie du premier membre montre que les coordonnées des droites BB' et CC satisfont également à celte équation.
II en résulte que les droites joignant les sommets aux points de contact des eûtes opposés sont concourantes, et que le point de rencontre a pour coordonnées trilatères ~ , — ot
Connue U, V, W représentent les premiers membres des
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équations des sommets du triangle ABC, si l'on suppose que Ton prenne pour axes de coordonnées les droites CA et CIï, et que l'on désigne par a et x p les longueurs CA et CB, on aura
W = te, et l'équation générale des coniques inscrites s'écrira
26u>(»P -i- w) ■+- 26'w(iw + te) + 24"(w* -+- w}{v$ -t- te) = 0.
233. Il est aisé, à l'aide de celte équation, d'établir qu'il exist(! une conique et une seule tangente à cinq droites dont quatre ne sont pas concourantes, et démontrer qu'on aune véritable conique si trois des droites données ne passent pas par un même point.
Prenons en effet trois des tangentes pour côtés du triangle de référence, et désignons par (U,, V„, W ) et (Ui, Vi, W,) les coordonnées des deux autres tangentes. L'équation de la conique cherchée sera de la forme
iVW-+- i'WU + Ô'UV = 0, et l'on aura pour déterminer />, b\ b" les équations ÔV D "W„ -+- ô'W U -+- 6"U V„ = 0, ftViW, -+- ô'W,U, -+■ i"U,V, = 0.
Supposons d'abord que ces deux dernières droites ne passent pas par un sommet du triangle; les relations précédentes peuvent s'écrire
b b' t>" n 7- + ït + TTT=0.
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XXÉES TRILATÈRES
\v w, w^vj 1
\W„U, DjW,,
et si les deux droites ne se coupent pas sur un coté du triangle, les trois nombres li, b\ h" ne sont pas nuls, le discriminant du premier membre de l'équation de la conique n'est pas nul, et l'équation représente une véritable conique.
Si la droite (U , V , W„), par exemple, passe par le point A, U„ est nul ; on trouve alors b = 0, la conique se réduit à deux points, dont le point A.
234. Etant donnée l'équation tangentielle des coniques inscrites à un triangle,
2iVW-r-26'WU-|-2è*UV = 0, l'équation ponctuelle correspondante sera
6 s X , -4-6 , *ï» + 4* , Z l — 24'4'YZ — 2WZX— 2WXY = 0, qu'on peut mettre sous la forme
i/ôX ± yfFY ± /F2 = 0, équation [toricluelle bien connue des coniques inscrites dans le triangle de référence.
Par un calcul tout semblable on verrait que les coniques circoiiscriles au triangle de référence ont pour équation ponctuelle générale
26YZ -t- 2è'ZX H- 26'XY =
et pour équation tangentielle générale
^U a 4-i'»V î -!-6"W i — Sfi'i'VW — 26WU — 2WDV =
ou
i/5Û± JFV ± i/¥\Ç =0.
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235. Coniques conjuguées par rapport au tri angle de réfè rence. — Soit
^'(U,Y,W) = oU î + a'Vï+a"W»+ 2SVW-f-2é r WU-r-26"UV = l' équation d'une conique.
Le pôle d'une droite (!,'„, V„, W„) a pour équation Co/Ï + Y oA + w oA = 0.
Il en résulte que le pôle de la droite BC a pour équation
-/l = aV -+- i"V -h // W = ;
pour que ce pôle soit le point A, il faut que cette équation se réduise à U = 0, c'est-à-dire qu'on ait b< = h" = 0.
De môme en écrivant que le pôle de CA est le point B, on obtiendra la nouvelle condition
6 = 0, et alors on constatera, aisément que le point C est le pôle de AB.
Les conditions nécessaires et sullisautes pour que l'équation donnée représente une conique conjuguée par rapport au triangle de référence sont donc
b = b' = b" = ; l'équation cherchée est alors
aU»-i-fl'V a + a''W a = 0.
Nous avons obtenu ceile équation au numéro 111.
236. Coniques circonscrites et Inscrites H un quadrilatère- —
Soit le quadrilatère PQRS ; prenons comme triangle de référence ABC le triangle qui a pour sommets le point de concours des diagonales et les points de rencontre (les côtés opposé-.
Nous commencerons par chercher les équations des côtés et des sommets.
Étant donné le triangle ABC.
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on construira le quadrilatère en se donnant deux droites quelconques BP et BS conjuguées harmoniques par rapport à BA et BC, puis deux droites quelconques GR et CS conjuguées harmoniques par rapporta CA et CB ; on voit alors que les droites PR et QS se coupent au point A, car lorsque deux faisceaux harmoniques ont un rayon homologue commun, les trois autres couples de rayons homologues se coupent en des points en ligne droite.
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