Y — Z = 0, (QS
Y + Z = 0. (PR; On déduit de là immédiatement les coordonnées des sommets et leurs équations.
Par exemple les coordonnées du point P satisfont aux équations
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on prenant X = 1, on trouve Y — 1 et Z = — 1; par
suite l'équation de ce point est
Les équations des sommets seront
U + V-W^O, (PJ
U-V + W = 0, fil)
L'équation générale des coniques circonscrites au quadrilatère sera alors
X* — z 2 -+- X pti - Y*) = ou
X'(H-l) — XY> — Z* = 0,
équation qu'on peut mettre sous la forme plus symétrique
oX'-t-a'Y 1 -+-«"Z a = 0, avec la condition
L'équation tangentielle correspondante peut s'écrire
avec la condition
Nous voyons ainsi que les coniques circonscrites à un quadrilatère sont conjuguées par rapport au triangle qui a pour sommets le poinl de concours des diagonales et tc< jioinls de rencontre des côtés opposés.
Cherchons maintenant l'équation générale des coniques inscrites ; nous formerons d'abord l'équation tangentielle, qui peut s'écrire
PR-!->.QS = 0, P, ft, Q, S étant les premiers membres des équations des sommets du quadrilatère.
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COORDONNEES TRILATERES 2\}1
On obiient donc (U + V — W)(U — V-h W) -h X (U —V — W)(TJ + V-t-\V) =
ou
IF(1 + X) — V*(i + 1) — W 2 {1 + X) — 2VW (X — i) = ou, on divisant par \ + 1,
IP — V ! — W s H- 2i-iVW = 0.
On voit ainsi qu'il n'existe qu'une seule conique du faisceau conjuguée par rapport au triangle ABC; elle a pour équation
Us - V a - W ! = 0,
elle touche chaque cùté du <[ua<li-ilatôi'c aux points où ces côtés sont rencontrés par les droites AB et AC.
L'équation ponctuelle correspondante est
(1 — ti 2 )X 2 — V— Z s — 2|jlYZ = 0.
237. Supposons main tenant qu'on prenne pour triangle de référence le triangle formé pur B les trois diagonales. Nous com-
mencerons par chercher les équations tangentielles des sommets. Etant donné le triangle ABC, on détermine le quadrilatère en se donnant arbitrairement deux points P et R conjugués harmoniques par rapport à A et C et deux points Q et S conjugués harmoniques par rapport à A et B.
On obtiendra ainsi pour les équations des différents sommets
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Il en résulte que les équations des points H et K sont
V — W = 0. (Kj Cherchons maintenant les équations des eûtes. Les coordonnées dû la droite PQ satisfont aux équations des points P et Q ; on aura donc
l'équation de cette droite sera
En opérant de la même manière on obtient les équations suivantes pour les quatre côtés du quadrilatère :
