X 1 — Y J — 7P- + 2[^YZ
Il existe une soûle conique du faisceau conjuguée par rapport au triangle ABC; elle a pour équation
X 2 - Y' — 7J = ; elle est tangente aux droites CQ, CS, BU, BP. L'équation tangentielle des mêmes coniques est
(1 — (**) V- — V 2 - W» — 2f*VW = 0.
On voit qu'il existe une grande analogie entre les équations de ce numéro et celles du numéro précédent; on déduit les secondes des premières en échangeant les coordonnées de droites en coordonnées de points et inversement.
On pouvait prévoir celte analogie en se fondant sur le principe de dualité, car si on transforme la première figure, au quadrilatère correspond un autre quadrilatère, et au triangle qui a pour sommets le point de concours de deux diagonales et les points de rencontre des côtés opposés correspond le triangle dont les côtés sont les diagonales du nouveau quadrilatère.
238. Théorème de Heïse. — Toute conique qui divise harmonique-
ment deux, diagonales d'un quadrilatère divise harmoniquemeni lu troisième- diu.jor.ulu.
Prenons pour triangle de référence le triangle des trois diagonales, riqioi'tons-nous à ia figure du numéro précédent et adoptons les mêmes notations.
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Soit
AX S + A'Y S + A7J -1- 2BYZ + 2B'ZX + 2B"XY l'équation d'une conique.
Pour que deux points (X, Y, Z) et (X', Y', Z'J soient conjugués par rapport à cette conique, il faut qu'on ait AXX'+A'YY'+A*ZZ'+B(YZ'+ZY')+B'CZX'+XZ')+B'(XY'+YX')=0.
Les points P et R ayant respectivement pour coordonnées 1,0, 1 et 1,0, — 1 seront conjugués par rapport à la conique si l'on a
On voit de même que pour que lus points 0 et S, Il et K soient conjugués par rapport à la conique, il faut qu'on ait A — A' = 0, A' — A" = 0.
Celte dernière relation étant conséquence des deux précédentes, le théorème est démontré.
En supposant que X, Y, Z représentent des coordonnées de droites el en se reportant aux notations du numéro 236, ou, ce qui revient au même, en transformant par le principe de dualité, on obtient le nouvel énoncé qui suit :
Toute conique conjuguée par rapport aux côtés opposés d'un quadrilatère est conjuguée par rapport aux diagonales.
239. TilÉORKME. — A tmtle rrol-'e du pln.il correspond une droite conjuguée pur rapport à toutes les coniques inscrites dan* un quadrilatère. Si l'uni: des droites tourne autour d'un point, la s enceloppe itii'j coni.q:<c. inscrite, dans le. triangle conjugue, c toutes les coniques du système.
Prenons pour triangle de référence le triangle formé par les diagonales du quadrilatère ; l'équation tariL-enlielle des coniques inscrites est (237)
atP-l-a'V a -l-<AV* = 0, avec la condition
Le pôle d'une droite (D , V , \V„) a pour équation aH]„ -+- a'VV, + a"WW„ = ; cette équation est satisfaite par les valeurs =y-> ^-t ^- ; on voit ainsi que les deux droites (U , V , W„) et (rj-> y ^-1 sont conjuguées par rapport à toutes les coniques du faisceau.
Si la première pa*se par un point, fixe, c'est-à-dire si l'on a
aU + ?V„ + -,W U = 0,
CCiOl'.DON.NLEK TltlLATERES 2 11
les coordonnées de la seconde vérifieront l'équation
aVW + pWU + -,-uv = 0, équation qui représente une conique inscrite au triangle d.e l'él'érence ■
En transformant par le principe de dualité, on peut énoncer le théorème suivant :
A tout ■point du plan corrcsj/ond- ".n point cotijni/itti par rapport à (ou tas les coniques circonscrites il un quudrilatère. M l'un Je- points décrit une droite, le second décrit une conique circonscrite au triangle conjugué commun à toutes les coniques du faisceau.
240. Propriétés métriques. — Ces quelques exemples montrent combien l'emploi des coordonnées trilatères peut être utile dans l'étude des propriétés descriptives des ligures.
Mais dès qu'on aborde lesprupriétés métriques, les formules se compliquent et l'emploi de ces coordonnées exige des calculs souvent laborieux.
Nous allons d'ailleurs le reconnaître dans ce qui suit cri nous bornant aux propriétés les plus élémentaires.
Mais auparavant il est nécessaire de donner un sens plus précis aux coefficients a,, a 3 , ... des formules (1).
Nous poserons, selon l'usage,
cos
sin
ps,
cos
sin
■ qz,
cos
sin
x, y, z désignant les coordonnées homogènes d'un point par rapport à des axes rectangulaires dont l'origine est à l'intérieur du triangle de référence.
Nous désignerons par A, B, C et a, b, c les angles et les eûtes du triangle; on sait que l'on a
V [I = 7T A, X — v = r.— B, u-X = jt — C.
Le déterminant D des coefficients de x, y, z peut s'écrire
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COS X sin ''■■ p D= cos fi sin n q — p sin A-t- g sin B-l-r sin C = — j
cos v sin v r S ni K désignant la surface du triangle do référence et le rayon du cercle circonscrit.
Des équations (5) on lire Ox = (çsinv— rsin^)Xn-(rsinX— ^sinv]Y-t-(psîn;i— <jsin).)Z, Di/ = (î'cosfi— jcos^)X+(pcosv— rcosX)Y+(çcos>— pcosjj)Z, ' Ds = X sin A -+- Y sin B -+- Z sin C.
Les formules (3) et (4) du numéro 227 deviennent AU — (y sin v— r sin fi) « -+- (r cos (i — ^ cos v)ti+w sin A, J AV = (rsin*— psinv)w+(pcosv — rcos X)u -+- w sin B, [ (7) ÂW= (p sin [* — 5sin)>)w+(9cosï.— pcos f*)u-bîfl sinC; J ku — — U COS X — Y COS [i — W cos V, \ ftti — U sin X — V sin n — W sin v, ( (8)
ta^pU-t-çV-t-rW. J
Si l'on représente par a, p, v les distances du point [ai, y, s) aux cùtés BC, CA., AB du triangle de référence, ces dislances élant affectées du signe -+- si ce point se trouve par rapport au côté correspondant du même côté que le sommet opposé et du signe — dans le cas contraire, les formules (5) peuvent s'écrire
X = », Y = As, Z = Tf«,
et l'on sait qu'on a la relation
aï-hbfï-f-c-r= 2S, i sin A-i- p sin B + f sin C =. — ■
Les quantités k, jJ, ■/ sont appelées quelquefois les coordonnas irUatèrea absolues du point considéré, et dans certaines questions il est utile de les introduire.
Étant données les coordonnées trilalèrcs d'un point (X, Y, Z) définies à un facteur constant près, on peut obtenir les coordonnées absolues de ce point, a, fi, -,•.
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On a en effet les relations
a déterminé par l'une des équations
- (aX -+- bY -+- c/j = 2ft
connaissants, on en déduit a, |î, 7 en fonction de X. Y, '/..
On voit aussi que les coordonnées Irîlalères absolues *, [3, 7 d'un point et les coordonnées rectangulaires a-, y de ce mèn:e point sont liées par les relations
