ÉQUATIONS PONCTUELLES
ÉQUATIONS TANGENTIELLES
ax" H- a'j/2 -h a"z^ =
aàu^ -f. ^2^2 îi;2 =
pt;2 — 2wi(? =
2a^uv ^iv^ =
41. Les équations qui figurent dans ce tableau sont des cas particuliers d'équations plus générales dont on trouvera les équations tangentielles en appliquant la méthode indiquée au numéro 32. On pourra ainsi dresser le nouveau tableau qui suit :
EQUATIONS PONCTUELLES
x^-hay9 = {p>g)
XPy9 -\-a =
Ax"^H-B2/"' + C2"^=
EQUATIONS TANGENTIELLES
M^V^H-^ — r^ic^^ =
,,ni-l „wi— 1
On peut même supposer dans ces dernières équations que les exposants p, g, m soient fractionnaires et négatifs ; on pourra par exemple déduire la seconde de la première en changeant g en — 9.
Si dans la dernière équation, on fait m = - , on a Téqua-
tion ponctuelle de la développée d'une conique à centre ; par exemple, dans le cas de Tellipse, cette équation s'écrit
a^x^-i-b^rf — c^ = 0;
on en déduit que Téquation tangentielle de cette courbe est
Il est à peine utile de faire observer que Ton peut permuter les colonnes des tableaux précédents (sans permuter les titres) icn échangeant les variables a?, y, z et w, u, w.
C'est ainsi par exemple que si l'équation tangentielle d'une courbe est
son équation ponctuelle est
^m-i yin-i
42. Enfin, il est bon de remarquer que dans bien des cas, on peut éviter l'application des méthodes générales pour obtenir l'équation tangentielle dune courbe dont on connaît l'équation ponctuelle, ou inversement.
Si Ton veut par exemple Téquation tangentielle de la courbe dont l'équation ponctuelle est
A^7 2/, «) = 0, on peut écrire que la droite
ux -+- v]i -h icz =
est tangente à cette courbe en éliminant l'une des variables 0?, î/ ou z entre ces deux équations et en écrivant que l'équation obtenue admet une racine double par rapport à Tune des deux variables qui restent.
Cherchons par exemple l'équation tangentielle de la cis-
soïde de Dioclès, dont Téquation ponctuelle est
{x^ -h y^)x — ayh = 0. Eliminons z entre cette équation et
vx-i-vy-h ÎVZ r= 0, ce qui revient à former l'équation de Tensemble des droites joignant Torigine aux points d'intersection de la courbe et de la droite ; on obtient
w{x^-hy^)X'^ay^{ux+vy) = 0, ce qui peut s'écrire, en ordonnant par rapport à a?,
,/, au\ av .
■a?t/2 IH H-?/3 . == 0;
et pour que cette équation admette une racine double, il faut qu'on ait
ou
A[au-hîof-h21aH^w = 0.
On aura de même l'équation ponctuelle d'une courbe, connaissant son équation tangentielle, en éliminant une des variables m, r, w entre les équations
/•(w, r, îo) = 0,
wa? H- vî/ -f- loz = 0,
et écrivant que l'équation qui en résulte a une racine double.
43. Point de contact d'une tangente. — Considérons maintenant une courbe définie par son équation tangentielle
Au,v,W) = o,
U, V, w désignant les coordonnées courantes; soient w, u, z^
les coordonnées d'une tangente D à cette courbe, satisfaisant.
à la relation
Nous nous proposons de déterminer le point de contact de cette tangente. Pour cela imaginons une tangente voisine D
qui rencontre D en un point M ; quand D' se rapproche de D, le point M a une position limite qui est le point de jontact de la tangente D.
Les coordonnées de ce point résultent immédiatement de la théorie développée au numéro 31 ; elles sont données par les formules (3),
lu /v I w
on en conclut que Téquation de ce point de contact est
Elle a, comme on le voit, la plus grande analogie avec Téquation de la tangente en un point d*une courbe déterminée par son équation ponctuelle.
Nous allons d'ailleurs compléter cette analogie en établissant l'équation du point de contact par un procédé entièrement semblable à celui qu'on emploie pour obtenir l'équation de la tangente.
44. A cet effet, il sera commode de n'avoir que deux coordonnées ; on peut supposer, comme nous l'avons déjà vu, que la tangente D ne passe pas par l'origine, il en sera de même de la tangente voisine D' ; on pourra alors supposer w = w' = i^ et l'équation du point de rencontre M des deux droites D et D' peut s'écrire
ou
ou encore
nno-nH n' co rî
ïTvnr
rkP.Vio Ho n
a pour limite la
dérivée de v par rapport à w, car on peut considérer o comme une fonction de u défmie par l'équation de la courbe. L'équation du point de contact sera donc
U — w Comme Ton a
/•(u, V, 1) = 0, on en déduit
fu
et réquation devient
(U-ti)/-^-f-(V-t;)/'J = 0, et en introduisant la troisième variable, on obtient
45. Dans tout ce qui précède nous avons supposé que les coordonnées de la tangente D n'annulaient pas les trois dérivées partielles /*^ /ï, f^. Il en est toujours ainsi dans le cas où la courbe est une véritable conique.
Si Ton a
la dérivée vi a deux valeurs qui sont racines de l'équation
il en résulte que la droite D touche la courbe en deux points dont on a aiéément les équations.
On dit alors que la droite D est une tangente double, et il est facile de généraliser le raisonnement.
Dans le cas où le premier membre de l'équation, f{u, w, w), est algébrique et entier, on peut faire la discussion d'une manière plus simple, et obtenir l'équation de l'ensemble des points de contact d'une tangente multiple.
46. Définitions. — On dit qu'une droite D est tangente simple à une courbe, quand par tout point de cette droite on ne peut mener à la courbe qu'une seule tangente confondue avec la droite D.
Il n'y aura exception que pour le point de contact, par lequel on pourra mener au moins deux tangentes à la courbe confondues avec la droite D.
On dit qu'une droite D est tangente multiple d'ordre p à une courbe, quand par tout point de cette droite on peut mener à la courbe p tangentes confondues avec la droite D.
Il y a, en général, p points situés sur cette droite par chacun desquels on peut mener plus de p tangentes à la courbe confondues avec la droite D : ce sont les p points de contact de la tangente.
Nous allons montrer comment on peut analytiquement reconnaître Tordre de multiplicité d'une tangente et déterminer ses points de contact.
Soit /"(U, V, W) =
Téquation supposée algébrique, entière et de degré m, d'une courbe.
Désignons par w, v, tv les coordonnées d'une tangente D à cette courbe ; on aura la relation
/■(w, V, îc) = 0.
Prenons sur cette tangente un point A que nous déterminerons par l'intersection de la droite D et d'une droite quelconque D' ayant pour coordonnées u\ v\ w' ; nous allons chercher les coordonnées des tangentes issues du point A à la courbe.
Une droite quelconque passant par le point A aura pour coordonnées \u -+- |jlu', Iv -h [iv\ hv -t- [iiv' ; elle sera tangente à la courbe si l'on a
fCku H- fJLw', Iv -+- jJLt;', liv -h iMv') = 0,
ou, en développant par la formule de Taylor, et en remarquant que le coefficient de X"' est nul,
en désignant selon l'usage par {ii'fu H- v'fv 4- ^''fw)k Texpression obtenue en formant la puissance A: de u'fu -H v'f,', h- w'f!i^
et en y remplaçant le produit de k dérivées partielles du premier ordre par une dérivée partielle du k" ordre. Ainsi
se remplace par f , ^ ^*
Parmi les tangentes issues du point A, il y en aura autant de confondues avec la droite D que Téquation (10) aura de racines nulles en jx.
Supposons d'abord que fû, fi^ et /;'. ne soient pas nulles en même temps ; alors quelles que soient les valeurs de u\ v\ w\ c'est-à-dire quel que soit le point A, Téquation n'admet qu'une seule racine nulle; la tangente est simple.
Le point de contact sera déterminé en écrivant que l'équation (10) a deux racines nulles, c'est-à-dire
uri + v'fi^iv'f;, = 0: (11)
on a ainsi la condition pour que la droite u\ v\ xv' passe par le
point de contact; on peut donc dire que l'équation du point de
contact est
UA-t-V/'Z+WAr. = 0.
47. Il peut arriver que le coefficient de [^^ dans l'équation (10) soit nul pour toutes les valeurs de u\ v\ w' satisfaisant à (11).
Dans ce cas, par le point de contact on pourra mener trois tangentes confondues avec la tangente D; nous démontrerons que la courbe présente en ce point un point de rebroussement.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut que la forme quadratique en u', v\ w
ou
soit divisible par u'fù -\- v'fl: -h lo'fl,,.
Le discriminant de cette forme est alors nul et l'on a
fu* fuv futv fru f V* ftw
ICU fliV /H'
Réciproquement, si cette condition est remplie, je dis que le coefficient de [i^ est divisible par le coefficient de ii. Considérons pour cela l'équation
a, (U, V, W) = J]%* 4- Vy:* 4- W%* + 2YWf:^ -h SWU/'^a
qui représente une conique en général.
Cette conique est tangente à la droite D puisque Ton a
<p(m, V, w) = [ufi-\-vfl'^icf^\ = m{m — i)f{u, v, iv) =0;
de plus, l'équation du point de contact de cette droite et de la conique s'écrit, comme il est aisé de le voir,
Cette conique est donc tangente à la courbe au point de contact de la droite D.
Supposons maintenant que la relation (12) soit satisfaite, la conique se réduit à deux points et l'un de ces points est le point de contact de la droite D ; il en résulte que cp(U, V, W) est divisible par U/'i -h V^' + W/'^.
On voit ainsi que les tangentes aux points de rebroussement satisfont à l'équation (12).
11 peut aussi arriver que le coefficient de [i divise les coefficients de [x^, HL*, . . .; dans ce cas, par le point de contact de la tangente D on pourra mener quatre, cinq, . . . tangentes à la courbe confondues avec la droite D.
Mais, il ne faut pas l'oublier, par un point quelconque de la droite D, autre que le point de contact, on ne peut mener qu'wne seule tangente conf9ndue avec la droite D.
