B' B A" IV

u V IV

(1) On le démontre en faisant le produit des deux déterminants A et a' ; on obtient un déterminant de même ordre dont tous les éléments sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à A- On a alors AA' = A?, d'où A' = A^

qui peut s'écrire, développée, en changeant le signe du premier membre,

a, a, a", p, P', p" désignant les coefficients de A, A', k\ B, B', B*' dans le développement du déterminant A'.

Mais cette équation n'est autre que Téquation (7), puisqu'on a vu au numéro 25 que Ton avait

a== A'A" — B2 = aA, p = B'B" — AB = 6a ,

En résumé, pour déduire les équations tangentielle et ponctuelle d'une conique l'une de l'autre, il suffît de remplacer dans l'une des équations les coefficients par les mineurs correspondants du discriminant et les coordonnées de droites par des coordonnées de points, ou inversement.

39. Nous avons vu, aux numéros 23 et suivants, que si A = 0, l'équation (7) représente deux points, et que la fonction

o(x, y, z) = Jix^ -h k'y^ -h A^z^ h- 2Byz -\- ^Wzx -h ^B'xrj

est carré parfait.

On peut donc dire que l'équation ponctuelle représente une droite double, qui est la droite joignant les deux points.

Si, de plus, tous les mineurs de a sont nuls, cp(a?, y, z) est identiquement nul.

On verrait de la même manière qu'étant donnée l'équation ponctuelle de l'ensemble de deux droites, le premier membre de l'équation tangentielle correspondante est carré parfait, de telle sorte que cette équation représente un point double, qui est le point de rencontre des deux droites.

Si les deux droites sont confondues, le premier membre de l'équation tangentielle est identiquement nul.

40. Il est utile de pouvoir écrire immédiatement l'équation tangentielle d'une conique dont l'équation ponctuelle est simple, sans être obligé de recourir aux formules générales.

On établira sans difficulté les résultats contenus dans le tableau suivant :