Supposons maintenant que la courbe (r) soit du deu

xième degré; il en sera de même de la courbe (C). Si Xi, ?/i, Zi désignent les coordonnées d'un point A quelconque non situé sur la courbe (r), Téquation (Ij représente la corde des contacts des tangentes menées à la conique par le point A ; il en résulte immédiatement que l'équation (2) est Téquation du point de rencontre des tangentes menées à la courbe (C) aux points d'intersection par la droite (wj, Vi, Wi).

Par une méthode semblable, on voit que l'équation

^st l'équation de l'ensemble des points de rencontre de la courbe (C) et de la droite (wj, Uj, w^).

Ces exemples montrent suffisamment combien le principe de dualité est utile pour étudier les propriétés des courbes définies par leurs équations tangentielles.

Voici encore une autre remarque fort importante dans la transformation des propriétés métriques des figures.

55. Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique des quatre droites concourantes qui leur correspondent.

Soient a?,, j/,-, z-, [i = 1, 2, 3, 4) les coordonnées des quatre points supposés en ligne droite ; leur rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des droites qui joignent ces points à Torigine, c'est-à-dire à

Xi Xa

OU

î/iXa — x^y^

y^x^ — Xiy^

Xi X^

Xa x^

Vi^^—oOiV,

yi^,-x,y,

Les droites correspondant aux quatre points ont pour

équations

xxi-hyyi-hzzi = 0,

et leur rapport anharmonique ne change pas si on substitue à ^es droites des parallèles menées par l'origine ; les coefii-

cients angulaires de ces droites étant > le rapport an-

COORDONNÉES. — Il 4

50 C00RD0NN:ÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE

harmonique sera Xi x^ x% x^

il est égal au précédent et le théorème est démontré,

56. En particulier, si quatre points en ligne droite forment une division harmonique, le faisceau des quatre droites correspondantes est harmonique.