Supposons, comme application, que Téquation

représente une conique ; on sait que la relation

^lA + yi/ï. + Vi.-^O

exprime que les deux points A, (arj, yj, Zj) et A2 (0:2, 2/î, Zj) sont conjugués par rapport à la conique, c'est-à-dire que la droite A1A2 rencontre la conique en deux points conjugués harmoniques par rapport à Ai et Aj.

Considérons la courbe correspondante,

/•(a, u, w;) = 0; la condition

exprimera que par le point de rencontre des deux droites ^1 (wi, Vj, it\) et A2 (î^2, i?2, Wi) on peut mener à la courbe deux tangentes conjuguées harmoniques par rapport à ces deux droites ; par analogie on dira que les deux droites A^ et Ag sont conjuguées par rapport à la conique.

58. On peut remarquer que cette transformation est un cas particulier de la transformation par polaires réciproques ; il suffit de prendre comme conique directrice la conique imaginaire

En effet, la polaire d'un point (a?, y, z) par rapport à cetteconique a pour équation

Xa? -h Yî/ -f- Zz = 0,

et par conséquent les coordonnées de cette polaire sont égalesaux coordonnées de son pôle.

Dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, cette conique directrice est un cercle imaginaire dont le carré du rayon est égal à — 1 ; la polaire d'un point A est perpendiculaire à la droite OA, rencontre cette droite en un point B situé par rapport au point du côté opposé au point A, et le produit des longueurs OA et OB est égal à 1.

Il résulte de là que, si deux droites font un certain angle, les deux points correspondants sont vus de l'origine des coordonnées sous un angle égal ou supplémentaire.

Dans tout ce qui suivra, nous ne ferons pas usage du principe de dualité, nous établirons directement les propriétés des équations tangentielles, laissant au lecteur le soin de les obtenir à l'aide du principe, quand la transformation sera simple.

EXERCICES ET NOTES

1. Pour trouver Féquation tangentielle de Tenveloppe d'une droite, une méthode très simple consiste à se donner l'équation de cette droite, ux-^-vy-^ w =z 0, et à écrire les conditions auxquelles est assujettie cette droite. Dans certains cas, on obtient immédiatement une relation entre w, v, w qui est l'équation cherchée ; dans d'autres cas, on peut avoir à éliminer certains paramètres avant d'obtenir l'équation de l'enveloppe.

2. On donne un cercle et une corde AB, on joint le point A à un point M qt4slconque du cercle, on mène ensuite MC faisant avec AB le même angle que MA, mais en sens inverse. Trouver Venveloppe de MC.

Prenons pour origine le point A, pour axes AB et une perpendi-

culaire. L'équation du cercle est

a?* -h y'^ — 2aa? — 2Py = 0.

Soit Ma? -f- ry 4-wj = Téquation de MC ; je forme l'équation des droites joignant Torigine aux points de rencontre de MG et du cercle,

xo{x^ -f- y2) ^ 2(aa; -f- ^y)[ux -f- vy) =z 0,

et j'écris que Tune de ces droites a pour coefficient angulaire celui de MC changé de signe ; on obtient ainsi

w(u^ ■+■ i?2) -h 4wt?(ai? 4- Ptt) = 0,

équation tangentielle d'une courbe de troisième classe, ayant trois points de rebroussement.

Dans le cas particulier où AB est un diamètre, l'enveloppe est une hypocycloïde à trois rebroussements.

3. On donne un triangle ABC, on le coupe par une transversale qui détermine sur les côtés ou leurs prolongements six segments tels que le produit de trois d'entre eux non consécutifs soit constant. Enveloppe de la transversale.

En prenant deux côtés du triangle pour axes, on a pour équation tangentielle de l'enveloppe

v)[ua + w)[vb -f- lo) = k^uv[ua + vh)^ représentant une courbe de troisième classe tangente aux côtés du triangle.

4. Enveloppe des asymptotes des hyperboles passant par quatre points.

On forme l'équation générale ponctuelle de ces coniques et on écrit que la droite ux'\-vy + w =. rencontre ces coniques en deux points à l'infini.

5 . Par un point fixe pris sur la circonférence d'un cercle, on mène deux cordes OA, OB dont le produit est constant; trouver l'enveloppe de la droite AB.

6. Un triangle est inscrit dans une circonférence ; on sait que les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point quelconque A de la circonférence sur les trois côtés du triangle sont en ligne droite. Trouver l'enveloppe de cette droite quand le point A se déplace sur la circonférence.

On prend deux côtés du triangle pour axes, on forme les équations des droites perpendiculaires aux axes aux points oii ces axes

sont rencontrés par la droite wn? -h ry -f- w? = 0, et on écrit que le point de rencontre de ces perpendiculaires est sur le cercle circonscrit. On trouve que Tenveloppe a pour équation tangentielle

w{u'^ 4-^2 — 2uv cos 6) — uv[u{a cos 6 — ô) -f- v{b cos 6 — a)] = 0.

7. On donne un point sur une circonférence , et l'on demande V enveloppe des cordes AB, telles que le triangle OAB ait une surface donnée. Maximum de cette surface; que devient Venveloppe dans ce cas particulier ?