VS

On voit que u a sans cesse le signe de w, ce qui donne la forme ci-contre.

69. Si 4'm-2(«i) était nul, le deuxième point de contact serait à Tinfini ; on Tétudierait comme plus haut (numéros 64 et 65).

Si ^i(mi) est nul, ^m-^i'^i) étant différent de zéro, <pm-i(w, u) contient deux fois le facteur tia 4- up, Téquation de l'ensemble des points de contact se réduit à

ces points sont confondus à Torigine. Nous allons étudier la position dé la courbe.

L'équation pourra s'écrire

{u — UiYg(u) -+- w{u — «i)*^i(w) -h w^^m-iiu) -H ••• = 0,

gi{u) n'ayant plus la môme signification que plus haut. En supposant d'abord g{ui) différent de zéro, on a un seul côté dans le polygone de Newton, u — Wi est infiniment petit d'ordre

■- > et en posant «5

z est déterminé par l'équation d'où

w — wi = y -

On voit ainsi que m — Wj a un signe constant quel que soit w.

Si on suppose

u — Ui sera positif, et on aura la forme indiquée par la figure ; Torigine est un point d'inflexion.

70. Supposons maintenant g{ui) = et ^j(wj)7f:0; réquation s'écrit

(m — Wi)*(p(m) -^ w{u — UiYg^{u)

-H î^^'l^m-aM -+-••• =0.

Nous poserons alors

U — Ml = ZW^,

et z sera déterminé par l'équation

2*9(«i) -h z^gi{Ui) -+- ^^m-2(wi) = 0.

Posons z^ = t\ l'équation devient

Si cette équation a ses racines imaginaires, les tangentes voisines de la droite D sont imaginaires, il en est de même des points de contact.

Si cette équation a ses racines réelles et distinctes, soient ti et fî, les valeurs infiniment petites de u —ui seront données par

te — Ui = ± yftïw

u — Ml = zh v/^

et l'on a les figures ci-dessus selon les signes de ti et de t^.