Déterminons maintenant les points
de contact de ces tangentes. Nous allons
établir que tout point de contact d'une tangente infiniment
voisine est toujours au-dessus de la droite D si w est négatif,
et au-dessous si w est positif.
Remarquons d'abord que u — Mj est toujours, par rapport
à Wy d'ordre infinitésimal inférieur à l'unité.
Car si on cherche les coordonnées du point de rencontre de
la droite D et de la tangente voisine, c'est-à-dire si on résout
les deux équations
t/ — t/jx = ,
y — vx — w = 0,
on trouve
— WUi U — Ut
U — Mj
et comme x et y ont pour limite zéro, il faut que lu soit d'ordre infinitésimal supérieur à w — w^.
On aura donc pour une tangente voisine
u — w, = Aici\i H- s) , s étant un infiniment petit et /? <; 1.
Or Téquation du point de contact de cette tangente voisine peut s'écrire
les coordonnées de ce point sont donc
on en déduit
I/o — UiXq = w ■
En négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on a u — Ui = AtvJ\
par suite
, — UiXq = îc(l j.
€ette expression est de signe contraire à w, puisque p est
plus petit que 1 ; c'est le résultat que nous avions annoncé et qui nous servira dans toute la discussion.
Alors dans le cas particulier qui nous occupe, où Ton a
u — ui = =ty/— et en supposant
POSITION d'une courbe 65
on aura les deux tangentes infiniment voisines de la droite D, AB et AC, et les points de contact seront situés au-dessus de la droite D.
On obtient ainsi la position de la courbe par rapport à la tangente.
62. Il peut arriver maintenant que ^m{u) contienne plus de deux fois le facteur (m — Ui), Supposons par exemple que
On trouvera aisément pour les tangentes infiniment voisines
etsi .;!^>0,
w — Wi sera de signe contraire à w, et on aura la forme de courbe cicontre; l'origine est un point de rebroussement, et parmi les tangentes issues de ce pointa la courbe, il y en a trois confondues avec la droite D.
Plus généralement, si
4^4 ?i) = (w — Wi)^^(m), g{Vi):ptO,
on peut mener de l'origine p tangentes confondues avec la droite D ; on aura pour les tangentes voisines
■M — wi = y -
Si p est pair, la courbe présentera la même forme que dans la figure du numéro 61 ; si ;? est impair, on aura un point de rebroussement comme dans la figure précédente.
Nous avons ainsi la position de la courbe par rapport à une tangente simple dans tous les cas possibles, quand le point de contact est à distance finie.
COORDONNEES. — II
63. Considérons, comme exercice, la cissoïde qui a pour équation tan genti elle (42)
4(au + w}'^ -h 21aH^w = 0.
£n ordonnant par rapport aux puissances croissantes de w, l'équation peut s'écrire
Quand w tend vers zéro, trois valeurs de u tendent vers zéro, l'axe Ox est une tangente simple et compte pour trois parmi les tangentes issues de Torigine ; on aura pour les tangentes infiniment voisines, en faisant v = — 1,
^* = V-4S^' u est de signe contraire à w,
64. Supposons maintenant que le point de contact soit à rinfîni ; il faut pour cela que <pm(w, v) et <p'„,(«, v) ne soient
pas nuls en même temps et que <pm-i(M, v) soit nul.
Ceci revient à dire que u — Mj est facteur simple de ^m{u) et divise 4'«i(m).
Posons
Ww) = {u — Ui)g{u) , g{Ui) i^ 0.
On aura Téquation
avec la condition <tm-i(wi) = 0.
Supposons d'abord <tm-2(wi) :^ 0;
daps ce cas u — Wj est infiniment petit du deuxième ordre, et sa partie principale est donnée par la règle de Puiseux,
ce qui montre que u — Wi a un signe constant. Pour la détermination du point de contact, on se reportera au numéro 61.
Quand le point de contact de la tangente D est à Tinfîni,
POSITION d'une courbe 67
u — ui est d'ordre infinitésimal supérieur à w, alors p est plus grand que 1 et Ton voit que ij, — u,x, a le signe de w. On aura alors sans peine la forme de la courbe.
Supposons par exemple i!îîi^^>0; u — u, seranéga-
tif quel que soit 2^, et on aura la forme de courbe représentée par la figure ci-contre.
65. Il peut arriver que le coefficient de îv^ soit nul pour w = «i. Si le coefficient de w^ est différent de zéro, w — wj sera infiniment petit du troisième ordre, et on aura
et en supposant -^(^>0, onob-
tiendra la disposition ci-contre.
C'est le point de rebroussement à Tinfini.
D'une manière générale, si on suppose
et
u — Ui sera infiniment petit d'ordre p ; on aura
Si p est pair, on aura la forme indiquée sur Tavant-demière figure. Si p est impair, on se reportera à la dernière figure.
66. Considérons, comme exemple, réquation tangentielle de Thyperbole rapportée à ses axes,
a^u^ — hH^-^xo^ = 0; en y faisant t? = -- 1, on a
aSt/S — &î — io2 -- 0, ce qui donne les deux asymptotes passant par Torigine qui ont pour coefficients angulaires dz -• De réquation on tire
et, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur,
iab'
donc
— sera positif pour les
tangentes voisines, ce qui donne la position de la courbe représentée par la figure ci-contre.
67. Supposons maintenant que la tangente D soit une tangente double; /*„, fv et f,o doivent être nulles pour les coordonnées de cette droite. En se reportant aux expressions de ces dérivées données au numéro 59, on voit que ^'„^[u. v), o„,{u, v)
et <pm-i(w, v) doivent être nuls, ce qui exige que o,„(w, v) soit divisible par {u^-\-vpY et Om-i(w, v) par wa+up. On a aussi
/"u* = ?1(W, v) -}- Wol^{U, r) -I- ...»
ut ut
uv uv
POSITION d'une courbe 69
et ces six dérivées ne doivent pas être nulles en même temps. L'équation de Tensemble des points de contact est
UV (u, v) -4-2UV'f>, v) + \yju, v)-t-2UW<?;^/M, v)
U« UV v« u
-H 2VW<p;„,(«, t;) H-2W«»„,(u, v) =0.
Supposons que l'un des points de contact soit à distance finie ; on pourra alors y transporter l'origine, et les coefficients de U^, UV, V^ dans cette dernière équation seront nuls ; par conséquent Om(«, v) admettra trois fois le facteur wa h- r?.
En reprenant les notations du numéro 60, l'équation pourra s'écrire
(m — u,Yg{u) -h w{u — wi)^i(w) -h w^^m-i{u) + . . . = ;
pour séparer les trois valeurs infiniment petites de u — Wi, nous construirons le polygone de Newton en supposant d'abord
^(ii,);éO, 9,{u,):^0, ^„.,(u0 7^O.
Deux côtés sont à considérer.
Nous poserons d'abord
u — Ui = zw ^ ,
et, en remplaçant dans l'équation, on aura pour déterminer z, on obtient ainsi
w ne peut avoir qu'un signe déterminé, on retrouve alors la forme représentée par la figure du numéro 61. Pour l'autre côté du polygone on posera u — fil = zw; mais alors, u — wi et lo étant infiniment petits de même ordre, le point limite d'intersection de cette droite et de la tangente D a une position difi'érente de l'origine ; nous obtenons le deuxième point de contact, qu'on peut étudier directement en transportant l'origine en ce point.
Il peut arriver que cp^(w, v) admette plus de trois fois le facteur wa -+- vp ; nous aurons à l'origine un point de rebroussement si l'exposant du facteur est pair, et un point sans particularité géométrique si l'exposant est impair, comme on l'a vu aux numéros 61 et 62.
En résumé, dans le cas où les deux points de contact sont réels, distincts et à distance finie, on peut obtenir les figures suivantes :
68. Considérons comme exemple la courbe enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires. L'équation tangentielle de cette courbe est
a^uH^ — io2(m2 4- r^) = 0.
On voit que Taxe des œ est tangente double, et que les deux points de contact ont pour abscisses zh a.
Transportons Torigine en Tun de ces points, celui qui a pour abscisse a par exemple; Téquation devient
a^uH^ — (îo — au)2(w2 4. ^2) — q
ou — a^w* 4- 2auw[u^ 4- v^) — io^{u^ + v^) = 0,
ou en faisant 1? = — 1 et changeant les signes,
a^u^ — 2auw{u^ + + ^^("^ + 1) = 0.
Quand w tend vers zéro, quatre valeurs de te sont infiniment petites ; donc par Torigine on peut mener quatre tangentes confondues avec l'axe Ox,
Pour séparer les valeurs infiniment petites de 10, je construis le polygone de Newton, dont le premier côté me donne trois valeurs
de u d'ordre ~; en posant
POSITION d'une courbe 71
on a
d'où
