eç'(iiO

•e4.:,(iii)

ou encore

?(wi)(e*~ai^)*H-eY(e)-hi^eY,(6)+M;»e/;(6)+i^Y3(«)4--- = o,

/(^)> A(®)î AW» A(^) représentant des polynômes entiers en 6 ayant un terme indépendant, et a désignant la racine double de l'équation en t.

Supposons a > ; on ne pourra donner à iv que des valeurs positives, et pour éviter les exposants fractionnaires nous poserons

e sera alors du premier ordre par rapport à w' \QXi désignant par zw' sa partie principale, on aura, après avoir divisé par w'^^

?(Wi)(«' — a'»)» -f- z^w'f{zw') 4- z^w'f,{zw') -h zw'f^[zw')

^ic'%{zw')-^'- =0, équation de la forme

(z2 — a'*)« -H zw'[kz^ -+- Bz2 + C] + w'^g (z) -4- • • • = .

Si Ton suppose

M = Aa'* -h Ba'2 + G 9zf: 0,

les valeurs de z se séparent immédiatement :

OU, en remplaçant z par sa valeur — ; ,

e = « - u, r= lA—^ ± \J ^^J\ .

Si -— , > 0, on ne pourra donner à w* que des valeurs

négatives dans la première expression, et des valeurs positives dans la deuxième, de sorte que a étant positif, les deux valeurs réelles de 6 seront négatives, et xo est toujours positif. On aura donc la forme de courbe représentée par la figure ci-contre ; on dit que Torigine est un point de rebroussement de seconde espèce.

Pour continuer la discussion, il faudrait examiner le cas où M = 0, puis ensuite supposer que le premier terme de Téquation écrite au début du numéro 70,

(u — wi)*cp(u) -h w[u — UyYg^[u) -h w^^^4,u) -h • • • = 0,

contient plus de quatre fois le facteur u — Uj, et ainsi de suite.

On étudiera de la même manière le cas de la tangente triple, quadruple, etc.; la méthode est toujours la même; elle consiste à développer u — «i en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de w.

72. Dans tout ce qui précède nous avons supposé que la tangente n'était pas parallèle à Ot/ ; dans le cas contraire, en transportant l'origine en un point de cette tangente, elle se confond avec Oy ; pour étudier la position des tangentes voisines, on supposera m = i et on développera « en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de w,