Tangentes par un point extérieur. — Soient
l'équation tangentielle d'une courbe C, et a, p les coordonnées d'un point A.
Les coordonnées des tangentes menées à la courbe par le point satisfont, comme nous l'avons déjà vu, aux deux équations
f{u, V, îv) = 0,
Le nombre de ces tangentes est égal à la classe delà courbe. En éliminant iv entre ces deux équations, on aune équation homogène en u et v,
qui détermine les directions de ces tangentes.
En y faisant m = m, v z= — i, on aura l'équation aux coefficients angulaires de ces tangentes,
f{m, —1, p — wa)=0.
On peut d'ailleurs obtenir cette équation plus rapidement en écrivant qu'une droite quelconque passant par le point A,
y — P = wi(a? — a), est tangente.
75. Appliquons ce résultat au ca^ où la courbe est de deuxième classe,
/( w , V, w) = au^H- a'v^ -+- aw^ + "Ibvw -+- "Ib'wu -\-Wuv =0\
on aura pour Téquation aux coefficients angulaires des tangentes issues du point (a, p)
am«^a'-+-a''(p— maf— 26(p-ma)-H26'm(p — ma) — 26''wi =
ou
m2(aV— 26'aH-a:— 2w(a"ap— 26a— 26'p-h6'')-Ha''p«— 2ô?H-a'=0.
Si l'équation représente une ellipse rapportée à ses axes,
ou une parabole rapportée à son axe et à sa tangente au sommet ,
/"(w, V, iv) = pv^ — ^uw =■■ 0,
les coefficients angulaires des tangentes menées par le point A seront donnés respectivement par les équations
aW-h*^ — (p— wa)« = 0, et
p — 2m(p — ma) = 0.
76. On peut par le même procédé obtenir Téquation de l'ensemble de ces tangentes. Soit {x, y) un point d'une de ces tangentes ; comme elle passe par le point («, p), son équation sera
et tout revient à écrire que cette droite est tangente, c'est-àdire que ses coordonnées satisfont à l'équation tangentielle de la courbe.
Il suffit de remplacer dans l'équation aux coefficients angu-
laires m par , ce qui donne
OU, en chassant le dénominateur x — a,
77. Proposons-nous maintenant de déterminer Téquation tangentielle de l'ensemble des points de contact des tangentes issues du point A à la courbe C.
Soient u\ v\ w' les coordonnées d'une de ces tangentes ;
on a
u'oL-hv'^-hw' = 0.
Écrivons qu'une droite (u, v, w) passe par le point de contact de cette tangente ; on aura
En éliminant u\ v\ w' entre ces trois équations, on aura l'équation cherchée.
L'élimination se fait aisément dans le cas où la courbe est de deuxième classe ; car la dernière équation peut s'écrire
On a alors deux équations du premier degré en u\ v\ w' dont les solutions sont données par
pf '
m-n u-^fu^ ^n-HL'
en substituant dans la première, on obtient
On a ainsi une équation du deuxième degré en w, v, w qui représente les deux points de contact.
78. Remarque. — En écrivant que dans cette équation le coefficient de w^ est nul, on a une relation entre a et p exprimant que, parmi les tangentes issues du point A, l'une a son point de contact à l'infini ; on peut donc dire que cette relation est l'équation de l'ensemble des asymptotes de la courbe considérée.
On a de même Téquation de l'ensemble des asymptotes d'une courbe quelconque de classe n, en formant Téquation des points de contact des tangentes issues d'un point, et annulant le coefficient de i^" dans cette équation.
