CHAPITRE V
CLASSinCATIOH DES COOBBES DE DEUXIÈME CLASSE
93. L'éqaatioD générale des coarbes de deuxième classe est /(u, «7, w) = «u'-+-a'c*-i-a'»r»-+-2écir-t-2*'«rM-j-2*"«c = 0. (1)
Noas rappellerons ici les notations et les formules fort importantes écrites déjà aa numéro 25 :
A = ^a" — b\ A'=a"a — *", A"=aa' — 6"».
A'A" — B» = aA, A"A — B" = o'i, AA' — B"'=o"a,
B = *'*" — fl*, B'=b"b — a'b', B"= bbf — a"b",
B'B" — AB = *A, B"B— A'B'= *'X BB'— A"B"=*"a.
& désigne le discriminant de la fonction f{u, v, w) ; on a
A= b" cl b
et les grandes lettres A, A', A", B, B", B" représentent les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement de A.
Cest ainsi qu'on peut écrire
A = Aa-+-B"A"-4-B'6', A = B"6"-HA'a'-i-B*, A= B'*'-i-BAH-A"a",
en développant le déterminant par rapport aux éléments des
lignes OU des colonnes.
Rappelons encore que l'équation ponctuelle de la conique
est
<p(ar, î/, z) = Ax^ -h Mif -h M'z^ -4- 2Byz -h 2B'zar -h 2B"xi/ = 0,
et que Ton a
Si A = 0, <p(a7, î/, z) est le carré d'une fonction linéaire qui, égalée à zéro, représente la droite qui joint les deux points dont l'équation (I) est Téquation tangentielle.
94. Nous avons déjà étudié le cas où a = (23 et suivants) ; nous nous bornerons maintenant au cas où a v^ 0.
Une première classification est donnée immédiatement par la considération des points à Tinfini.
Nous avons vu (85) que Téquation des points à Tinfini de la conique représentée par Téquation (1) est
Le discriminant du premier membre est [AA' — B"* ou
Si a"A > 0, les points à Tinfini sont imaginaires ; la conique est du genre ellipse.
Si a'^ < 0, les points à l'infini sont réels et distincts ; la conique est du genre hyperbole.
Enfin, si a''A = 0, c'est-à-dire si a" = (puisque nous supposons A 9^ 0), les points à l'infini sont confondus ; la conique est du genre parabole.
Dans ce dernier cas, d'ailleurs, l'équation (1) est satisfaite par les coordonnées de la droite de l'infini w = 0, v =0; on en conclut que la courbe est tangente à cette droite.
