Premier cas. a" ;zf
La conique est du genre ellipse ou hyperbole.
On peut écrire
f(u, V, w) = 4 K«^-^ b'u^bvf— ^^'^'^,1^^^^ +au^'^-a'v^'\'n"ut>
ou
a"f{u, V, w;) = {a"iv -^^ b'u^ bvf -^ Mu^ -\' kv^ — Wuv,
i® Supposons que Tun des coefficients A ou A' soit différent. de zéro, par exemple A' ^é 0.
On pourra écrire
a"f{u, v, w) = (a"tt;+ô'ti+ô«)«-f--77 (A'u— B''t;)» -7 v'-^-kv^
OU
fin, V, w) = JL[\'(^a''W'^b'u+ bvf •^{k'u'^B^Y -h
Faisons maintenant la transformation de coordonnées indiquée par les formules suivantes :
•A'*-hB"* — 2A'B"cosO
vr = -r. U-h—V-htV,
Gela revient à prendre pour nouvelle origine 0' le point qui a
pour coordonnées —^ et -77 , pour direction de Taxe des a/
une parallèle à la droite qui joint l'origine au point de coor-
(1) Nous plaçons au dénominateur de fexpression de u' la quantité
^A'* -h B'* — 2A'B' cos 6, aûn que le point qui a pour coordonnées-
et — : soit à Tunité de dis-
A'^-hB-* — 2A'B'cose v^A'*H-B-* — 2A'B'cosft
tance de forigine, conformément aux formules (6) du numéro 34.
données ' et
v/A'*-+-B'^ — î^A^B^cose v^A'«-+-B"* — 2.VB* cos 6 l'axe des \J restant parallèle à 0?/.
L'équation de la courbe devient alors
(A'2 H- B'^ — SA'B" cos e>'2 -f. a^Au'^ H- A'a'^zr'^ = 0.
On reconnaît là Téquation tangentielle d'une conique dont réquation ponctuelle est (40)
A'^4-B"^ — SA'B'cose a^A AV^
Si a"A > 0, la conique est du genre ellipse. Cette ellipse est réelle si A' < 0, imaginaire dans le cas contraire.
Remarquons que dans ce cas A et A' sont de même signe et qu'on peut s'adresser à l'une ou à l'autre de ces quantités pour distinguer la réalité de la courbe.
Si a''A <; 0, la courbe est une hyperbole.
11 est utile d'observer que, cette courbe étant rapportée à son
centre, les coordonnées de ce centre sont par rapport aux
b' ^ h premiers axes -77 et -77 .
2o Supposons maintenant A = A' = 0; B" doit être différent de zéro puisque
AA' — B"2 = a''A;éO.
Nous pouvons écrire
n"f{u,v, w) = [a"w-^b'u-^bvf ^(w + u)* -^-^ (u — v)^
Faisons alors la transformation de coordonnées
s't -f- Î2 cos 6
v/:2 — :2 cos '
w' = -j: u-h-r,V'hw; a a"
J'équation devient
a^^w" - B''(i 4- cos e)u'3 -h B''(i — cos ^)v'' = 0,
et réquation ponctuelle de cette courbe est ar'2 y'^ 1
B"(l -h cos 0) B"(i -- cos e) a'
Elle représente visiblement une hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués.
Remarquons que dans ce cas a"^ est négatif, puisque cette quantité se réduit à — B*^.
Il en résulte que les conclusions de la première partie du premier cas sont générales pour ce cas, c'est-à-dire :
a"^ > 0, ellipse réelle ou imaginaire, selon que les deux quantités de même signe A ou A' sont négatives ou positives ;
a" A < 0, hyperbole.
