Deuxième cas. a
Nous diviserons encore ce cas en deux parties.
1° Les deux coefficients a et a' ne sont pas nuls en même temps ^ par exemple a ^f: 0.
Commençons la décomposition en carrés en ordonnant le premier membre par rapport aux puissances de u ; on aura
/"(îi, u, w) = - {au 4- f^^v -h b'îv,^ — ^ h a'v^ h- itùvw ,
af{u, V, ic z=i{au-^l/v-{-lhvf-\--[aa'—b''\v^—%b'h''—ab)vw—b'hci,
et en supposant b' :^ 0,
af[u, V, iv) = [aU'^b''v-^b'wY — (b'iv^ ^ ^ TT^ A
^ fà'b'' — abYi ^v^^aa'-b"^-^^ 6^J*
Remplaçons les deux premiers termes par un produit de
deux facteurs, et remarquons que le coefficient de v^ peut
s^écrire
c est-à-dire — j,^ ; il vient alors
98 COOKDONNÉES TAXGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE PL AXE
nu, V, u,) = ^ [au^ (2*.5*)« + 26'.] A„,.
Faisons la transformation de coordonnées :
, __ b'u-hbv
Téquation prend la forme
v'« -h "ioLu'iv' = 0, qai représente ane parabole dont Téquation ponctuelle est (40)
ay'2 | 2x' = ; on voit ainsi que la direction asymptotique qui est OV a pour paramètres directeurs ô' et b.
Si b' = 0, on a
A = — aô%
de sorte que ni a ni 6 ne peuvent être nuls.
On écrira alors
/•(tt, u, w) = au^ -h v{2b"u + a'v -h 26m;).
Nous ferons la transformation de coordonnées :
v' = V, 2b"u -h a'v -+- 2bw
réquation devient
att'2 -f- 2bw'v' = ;
elle représente une parabole dont Téquation ponctuelle est (40)
la direction asymptotique est O'y', c'est-à-dire Oj/, puisque les nouveaux axes sont parallèles aux premiers.
CLASSIFICATION DES COXIQCES 99
On peut donc dire qae cette direction a pour paramètres directeurs *' et b.
2° Supposons maintenant a = a' = 0.
On a
aucun des trois nombres b^bf ou b" ne peut être nul. On aura
/■(u, V, w) — ^bvw -+- 26'ïrti -h ^V'uv.
On peut écrire
f(u, v,w)=^ {b'u -h bt)(b'w -+- 6"i ) — ^v^ = 0.
Faisons la transformation :
b^u -+- bv
L'équation prend la forme
t;'*-t-2auV r=0; elle représente une parabole qui a pour équation ponctuelle
la direction asymptotique a encore pour paramètres directeurs b' et b.
En définitive, on voit que si
l'équation (1) représente une parabole dont la direction asymptotique a pour paramètres directeurs b' et b.
98. On peut résumer la discussion dans le tableau suivant, les résultats relatifs au cas où A est nul se déduisant des considérations présentées au numéro 25.
/ ( A OU A' < Ellipse réelle.
\ ( A ou A' > G Ellipse imaginaire.
^ ^ a"ù, < G Hyperbole .
a" = Parabole.
A ou A' < G 2 points réels à distance finie.
l A ou A' > G 2 points imaginaires à disû^'t^G } tance finie.
r A = A' = G 2 points confondus à distance \ finie.
b ovl b' :^0 2 points réels dont Tun à Tinfini.
/ A'' < G 2 points réels à Tinfini.
A" > G 2 points imaginaires à l'infini.
A" = G 2 points confondus à rinfini.
