CHAPITRE VI POLES ET POLAIRES
103. Droites conjuguées. — On dit que deux droites sont conjuguées par rapport à une conique lorsqu'elles divisent harmoniquement les tangentes menées à la conique par leur point de rencontre.
Soit la conique représentée par Téquation
f{u, V, iv) = au^-ha'v^-]-a''w^-\-^bvw-h''2b'wu-hWuv = 0. (1)
Considérons deux droites ayant pour coordonnées Wq, Up, Wq et Ml, Vi, Wi, et proposons-nous de trouver la condition pour que ces deux droites soient conjuguées par rapport à la conique.
Une droite quelconque passant par Tintersection de ces deux droites a pour coordonnées Xi/q-h fiwi, Xv^ h- fiVi et Xwq -+• iJ.Wi ; les valeurs de X et de ^l correspondant aux tangentes issues de ce point à la conique seront déterminées par réquation
ou, en développant,
Pour que ces deux tangentes soient conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites données, il faut que les
deux valeurs de — déterminées par Téquation qui précède
soient égales et de signe contraire (14) ; on doit donc avoir
ou
Cette relation développée s'écrit
-H à\v^v^ -h v^ui) = 0.
104. Pôle d'une droite. — Théorème. — Les droites conjuguées d'une même droite A passent par un point fixe qu'on appelle le pôle de la droite .
Soient i/q, «o, w^q les coordonnées de la droite a. et w, v, w celles d'une droite conjuguée. On a la condition
ce qui montre que la droite (u, v, iv) passe par un point fixe qui a pour coordonnées fi, , fl , /*,'. . Ce point est le pôle de la droite a et Téquation (2) est l'équation de ce pôle. . D'après ce qu'on a montré plus haut (88), ce point est l'intersection des tangentes menées à la conique aux points où la droite a coupe cette conique.
105. Pour que ce point existe, il faut que les trois dérivées
ne soient pas nulles en même temps.
Si l'on a
le déterminant du système de ces trois équations est nul et l'équation (1) représente alors un système de deux points; les valeurs de Uq^ d^, iVq qui annulent les trois dérivées sont précisément les coordonnées de la droite qui joint ces deux points.
On voit donc que si Téquation (1) représente une véritable conique, une droite quelconque du plan admet un pôle bien déterminé.
Il en est de même dans le cas où Téquation représente un système de deux points, sauf le cas où la droite se confond avec la droite joignant les deux points.
Ce résultat est d'ailleurs conforme à la définition du pôle d'une droite par rapport à un système de deux points (28).
106. Proposons-nous maintenant de chercher si deux droites distinctes peuvent avoir le même pôle par rapport à une môme conique.
Wq» ^0» ^0 et Ml, «1, Wi désignant les coordonnées de ces droites, on doit avoir, pour qu'elles aient le même pôle,
/«i /t'i /wj ou
Or les premiers membres de ces équations peuvent s'obtenir en remplaçant dans les fonctions fu, fl, fw les variables w, r, w respectivement par UQ-h^Ui, u^H-^^Vi,
On doit donc avoir pour une valeur déterminée de ^,
fiv{uQ H- Xwi , Uo "+■ ^^1 ' Wq-^Iwi) = 0;
cela nous montre que l'équation doit représenter un système de deux points et que la droite qui joint ces deux points a pour coordonnées Uq-{-\uu v^+lVi^ WQ-\-'kWi'j cette droite doit donc passer par le point de rencontre des deux droites données.
Donc pour que deux droites aient le même pôle par rapport
à une conique, il faut que celte conique se réduise à deux points et que les deux droites se coupent sur la droite joignant les deux points.
107. Polaire d'un point. — On appelle polaire d'un point la droite qui a ce point pour pôle.
Soitle point (x^, y^^ Zq) ; si Wq, !;„, Wq désignent les coordonnées de la polaire de ce point, on aura
- fi^ = aW(, -h b"vç, -+- b'w^ = Xa?o,
fl^ = Ij"u, 4- a'v, 4- bw.
2 flv^ = ^\ -+- ^"o -+- «X = >^Zo
Tout revient à résoudre ce système par rapport à Mq, Uq? ^o- Premier cas. — Supposons qu'on ait a b" // A = 6" a' b
c'est-à-dire que l'équation (1) représente une véritable conique. On peut alors résoudre le système (3) d'après la règle de Cramer ; on aura
AMo = X(AiCo4-B''yoH-B\),
AUo = H^"Xo 4- A'î/o -+- BZq),
qu'on peut écrire, en désignant par o{x, y, z) = kx^ -H A^v^ + A"z2 h- ^làyz+ ^^'zx-^-Wxy = l'équation ponctuelle de la conique,
l'équation de la polaire sera donc
résultat qu'on établit en géométrie analytique.
Rappelons que deux points sont conjugués quand la droite qui les joint rencontre la conique en deux points conjugués harmoniques par rapport à ces deux points ; chacun d'eux est alors situé sur la polaire de Tautre, et la relation qui lie les coordonnées ar^,, t/o, Zq et x^, y,, Zi de ces deux points est
ou AxqXx
■ A'yo?/i
AVi-+-%o2i-+-V7i)
Deuxième cas. — Supposons A = 0, et l'un au moins de ses mineurs différent de zéro, soit par exemple (*)
A'' = aa' — &"2 7^ 0.
L'équation représente deux points distincts.
On peut alors résoudre les deux premières équations du .système (3) par rapport à w© ©t ^o> ^t, en transportant ces valeurs dans la troisième équation, on obtient
wo b'
et comme A = 0,
il reste
-XaJo
bwQ — Xi/o
a"wQ — X3q
Le coefficient de X peut s'écrire
.Vo ou
égalé à zéro, il exprime la condition pour que le point (xq, î/q, Zq
(1) On peut toujours supposer que le mineur différent de zéro soit l'un des mineurs appelés principaux, A, A' ou A", car si ces trois mineurs étaient nuls ainsi que A, les trois autres mineurs seraient aussi nuls d'après les formules du n® 93.
soit sur la droite D joignant les deux points représentés par Téquation (l).
Nous aurons donc deux cas à distinguer :
1» Le point (x^^, i/q, Zq) n* est pas sur la droite D. Le système (3) est équivalent au système
a b" Xq
Le coefficient de X étant différent de zéro, pour que la troisième équation soit satisfaite, il faut qu'on ait
X=:0; les deux premières équations se réduisent alors à
elles déterminent la droite D.
,En conséquence, tous les points en dehors de la droite D ont pour polaire cette droite.
2° Le point (û7y, i/q, Zç^ est sur la droite D.
Le coefficient de x est nul et le système (3) se réduit aux deux équations
les coordonnées de la polaire satisfont à Téquation
^0 .Vo
Si l'on y considère Wq, ^o» ^o comme coordonnées courantes, cette équation représente un point situé sur la droite D, et toute droite passant par ce point est polaire du point (x^^ 2/0, z^). Ce point et le point donné divisent harmoniquement les deux points représentés par l'équation (1).
Troisième cas. Supposons A = 0, et tous ses mineurs nuls. Dans ce cas /*{?«, 1?, w) est carré parfait, et l'équation {{) représente un point double.
L'un des coefficients a, a' ou a" est différent de zéro; supposons
On peut tirer Mq de la première équation du système (3;, et en remplaçant dans les deux autres, observant que tous les mineurs de A sont nuls, on obtient le système suivant, équivalent au système (3) :
Xb'x^ — az^ = 0.
Les conditions peuvent s'écrire
ô"a?o — ai/o = 0, b'xo — azo =z
fo __ yo fo a " b"" b"
elles expriment que le point donné coïncide avec le point double, car f{u, V, w) étant carré parfait, sa racine est proportionnelle à une dérivée partielle, fu » puisque a ^zf: 0.
4° Supposons que U point (aro, y©» -^o) **^ coïncide pas avec le point double.
Pour que les deux dernières équations du système (5) soient satisfaites, il faut que X soit nul.
La première équation devient alors
fi = 0;
elle exprime que la polaire passe par le point double.
2° Supposons que le point (xq, yg» -^o) coïncide avec le point double. Les deux dernières équations du système (5) sont satisfaites quel que soit ^ ; la polaire est donc déterminée par Téquation
et comme X est arbitraire, une droite quelconque peut satisfaire à cette équation ; la polaire du point double est donc entièrement indéterminée.
108. Tous ces résultats peuvent être résumés de la manière suivante :
lo Si réqualion (1) représente une véritable conique, une droite quelconque a un pôle bien déterminé et un point quelconque a une polaire également bien déterminée.
2*» Si Téquation (1) représente deux points distincts A et B,
toute droite autre que la droite AB a un pôle situé sur la droite AB; le pôle de la droite AB est un point quelconque du plan. Tout point en dehors de la droite AB a pour polaire la droite AB, et tout point situé sur la droite AB a une infinité de polaires assujetties simplement à passer par le conjugué harmonique du point donné par rapport à A et B.
3° Si réquation (1) représente un point double, toute droite ne passant pas par le point double a pour pôle ce point double, et toute droite passant par le point double a pour pôle un point quelconque du plan.
Tout point autre que le point double a pour polaire une droite quelconque passant par le point double, et le point double a pour polaire une droite quelconque du plan.
