Coniques conjuguées par rapport à un triangle
On dit qu'une conique est conjuguée par rapport à un triangle lorsque le triangle est conjugué par rapport à la conique. Nous allons chercher l'équation tangentielle des coniques conjuguées par rapport à un triangle.
Nous supposerons d'abord que l'on prenne pour axes de coordonnées deux côtés OA et OB du triangle.
Désignons par a l'abscisse du point A et par ? l'ordonnée du point B.
Soit
/(m, V, w) = au^ -+- aV -+- a"w^ + "ihvw -f- Wivu + Wuv =
l'équation générale des coniques.
Écrivons que le pôle de Ox est le point B. L'équation du pôle de Oa: est
120 COORDONNÉES TANGENTIELLES. GÉOMÉTRIK PLANE
on doit avoir
En écrivant que Oy a pour pôle le point A, on obtient de même
Ces conditions sont suffisantes, car si elles sont remplies AB aura pour pôle le point 0.
L'équation de la conique s'écrit alors, en remplaçant a et d par leurs valeurs tirées des relations précédentes,
ô'aa^ -h h\xP- -h o!uP^ -h "Ihvw + "ib'uw =
ou encore
a p \ a py
On peut dire que Téquation générale de ces coniques est
A, B et G désignant des nombres arbitraires.
Supposons maintenant que le triangle soit rapporté à des axes quelconques a^Oj/; soient art, j/i*, iP2, 2/2 ; a?3, 2/3 les coordonnées des sommets A, B et G de ce triangle.
Si nous prenons pour nouveaux axes de coordonnées AB et AC, réquation générale des coniques conjuguées par rapport au triangle, s'écrit.
A{w'a 4- w'f + B(î;'P 4- w'Y -+- Cm;'2 = 0,
a et p désignant les longueurs AB et AG.
Pour revenir aux premiers axes, nous utiliserons les formules de transformation établies au numéro 34.
Remarquons que les coordonnées du point directeur de AB
X2 — Xi Va """ Vi sont et ^ ^ ; pour la direction AC, ces quan-
tités sont
3?3 Xi t/3 J/i
On aura donc les formules
u{x2 — x^) ^ v(y2 — yi)
, UiXz—Xi) %3— î/l)
Réduisons les deux premières équations au même dénominateur et ajoutons à chacune d'elles la troisième équation membre à membre ; on a
u'a -h iv' = wa?2 -+■ vy2 -h w,
«'p -H W)' = wara -h uj/a -h zt',
L'équation de la conique devient donc
A(Mar2+v2/2-l-w;)*-+-B(tia:3-+- vï/3-H2^f-hC(wa?i-+-vyi-Mt;)* =0;
elle est de la forme
\(uXi -hvy^-hwY-i- l^i^Xi -H vy2 -h wY -H y<z[ux^ + uy 3 4- t/^)* = 0,
ou, en désignant par P^, Ps, P3 les premiers membres des équations des sommets du triangle donné, on voit que l'équation générale tangentielle des coniques conjuguées par rapport à ce triangle est
112. Théorème. — Si deux triangles sont conjugués par rapport à une conique, leurs six sommets sont sur une conique et leurs côtés sont tangents à une conique.
Soient xi, yi (t = i, 2, 3, 4, 5, 6) les coordonnées des six sommets des triangles.
L'équation tangentielle d'une conique conjuguée par rapport au
triangle qui a pour sommets les trois premiers points est
S '^i(tixi -+- vyi + ir)2 = ;
réquation tangentielle d'une conique conjuguée par rapport au triangle formé par les trois autres points est
^ M^isci -+- vyi -h w)^ = 0.
Écrivons que les deux équations représentent la môme conique ; on obtient une identité de la forme
On en déduit
^[lixj = 0, ^t^/y? = 0, ^[liooiyi = 0,
On a six équations homogènes à six inconnues, (ii, fXj..--» Ke,* le déterminant du système doit être nul ; on a donc
xiyi a?2.V2 x^ys x^y^ x^y^ x^ya
yl
yl
ce qui prouve bien que les six points sont sur une conique.
En transformant cette propriété par polaires réciproques, on a la seconde partie du théorème.
113. Théorème réciproque. — Si deux triangles sont inscrits dans une conique, il existe une conique conjuguée par rapport à ces deux triangles.
Si le déterminant précédent est nul, il existera une relation linéaire et homogène entre les éléments de ses lignes ; on aura donc la suite d'égalités
^\LiXi = 0, ^l^.Vi = 0, ^[i! = 0,
d'où l'on déduit l'identité
\^lii(uxi -h vy, 4- îo)2 =0,
ce qui montre que les équations tangentielles
1=3 ^fJL;(lM5/ 4- t?y , + «?)» = 0,
^[ii(uxi 4- vyt 4- w?)» =
représentent la même conique, qui est conjuguée par rapport aux deux triangles.
Corrélativement, si deux triangles sont circonscrits à une même conique, il existe une conique conjuguée par rapport aux deux triangles.
EXERCICES ET NOTES
i. Triangles polaires réciproques. — On dit que deux triangles sont polaires réciproques par rapport à une conique lorsque les sommets de l'un sont les pôles des côtés de l'autre. La réciproque est vraie.
Théorème. — Les droites qui joignent les sommets correspondants de deux triangles polaires réciproques passent par un mêm,e point.
Soit f(u, t?, to) = l'équation tangentielle de la conique ; et soient
a z= ojp 4- a'y 4- d'z := 0,
^ z=z bx -h b'y -h Vz = 0,
Y zn ca; 4- c'y. 4- c*^ =
les équations des côtés BC, GA, ÂB d'un triangle ABC ; nous allons démontrer que si l'on mène par les sommets les droites conju-
guées des côtés opposés, les trois droites obtenues sont concourantes.
Une droite quelconque passant par le point  a pour équation P -I- Xy = ; pour qu'elle soit conjuguée du côté BC, on doit avoir
(à -h Xc)/-^ -+- (&' -+- Ic')^' -h (b" + V)/-i" = 0, d*où Ton tire, en posant pour simplifier récriture,
hfL -+- h'fk' 4- 6'r> = <b + aït' + «'Ï6- = (««'),
[ac) Nous obtenons donc la droite
P(ac) — y(^*) = ^• Les deux autres droites auront pour équations
-((ha) — aL(bc)= 0, a(c&) — P(ca) = 0.
En additionnant on a une identité ; donc les trois droites sont concourantes.
En transformant par le principe de dualité, on obtient le théorème suivant :
Les points d'intersection des côtes correspondants de deux triangles polaires réciproques sont en ligne droite.
D'ailleurs, Tun de ces deux théorèmes résulte de l'autre, d'après les propriétés de deux triangles homologiques ; on peut donc dire que deux triangles polaires réciproques sont homologiques.
2. Démontrer que, réciproquement ^ deux triangles homologiques sont polaires réciproques par rapport à une conique,
3. Etant donnés deux triangles ABC, AiBiGi, parles points A,B, C on mène les droites respectivement conjuguées de BiCi, Ci Ai, AiBi. Si ces droites passent par un même point, les droites passant par Al, Bi, Ci et respectivement conjuguées de BC, CA, AB, se coupent aussi en un même point.
Prenant les mêmes notations que dans l'exercice 1, les trois premières droites auront pour équations
p(cai) = Y(6ai),
a(&ci) = P(aci),
et pour que ces droites soient concourantes, il faut qu'on ait
(cai){abi}{bci) = {bai){cbi)(aci) ; cette relation étant symétrique par rapport aux deux triangles, le théorème est démontré. (*)
Si la conique se compose des deux points cycliques, deux droites conjuguées quelconques sont perpendiculaires ; on a alors Ténoncé suivant :
Si deux triangles sont tels que les perpendiculaires abaissées des sommets d'i Vun sur les côtés de Vautre soient concourantes^ inversement les perpendiculaires abaissées des sommets du deuxième sur les côtés du premier sont aussi concourantes.
4. Les polaires des milieux des côtés d'un triangle par rapport à toute conique inscrite déterminent un triangle dont Vaire est égale à celle du triangle donné,
5 . Par un point quelconque du plari, on peut mener une infinité de Couples de droites conjuguées ^ qui constituant deux faisceaux en involution. Trouver les points du plan pour lesquels deux droites conjuguées quelconques sont perpendiculaires. Ces points sont les foyers.
6. Si par deux points B et C conjugués par rapport à une conique ^ on mène deux droites qui se coupent en un point a de la courbe, la corde bc que ces deux droites interceptent sur la conique passe par le pôle A de BC. Théorème corrélatif,
7. Uéquation générale des coniques ayant pour centre le point (a;, y), et pour diamètres conjuguas deu^ droites de coefficients angulaires m et m\ est
[ux 4- «y -K u>Y 4- X(w 4- ^n^f 4- tJt(w 4- vm')^ = 0.
Ces deux diamètres forment en effet avec la droite de Tinfini un triangle conjugué par rapport à la conique
(1) Cette démonstration et celle qui précède sont dues à M. Darboux.
114. Centre. — On appelle centre d'une conique un point tel que toute droite passant par ce point rencontre la courbe en deux points symétriques par rapport à ce point.
Il résulte immédiatement de cette définition que le centre est le pôle de la droite de Tinfini, et que, réciproquement, si le pôle de la droite de l'infini est à distance finie, ce point est un centre.
Soit
f[u, v,w) = au'-^a'v^-\-a!'iv^-^'ibvtv-\-WwU'\-2b"uv = {i (1)
Téquation tangentielle de laconique.
L'équation du pôle d'une droite quelconque (u^, v^, w^) est
ou encore
Si la droite est à l'infini, Uq et v^ sont nuls, et l'équation devient
Premier cas. d' z^ 0. La conique est une ellipse ou une hyperbole.
Le pôle est à distance finie. La courbe a donc un centre, qui
a pour coordonnées —jj et —, ou, si Ton veut, pour coordonnées homogènes b', à et a".
Dans le cas particulier où a est nul, l'équation (i) représente deux points, le centre est le milieu de ces deux points.
Deuxième cas. a" = 0. La conique est une parabole.
Le pôle de la droite de l'infini est à Tinfini, ce qu'on pouvait prévoir, puisque la courbe est tangente à cette droite. La parabole n'a donc pas de centre .
Le point où la courbe touche la droite de l'infini a pour coordonnées homogènes 0\ 6 et ; la direction asymptotique a donc pour paramètres directeurs b' et A.
115. Il résulte de là que l'équation générale des coniques qui ont pour centre le point (a:, y) est
au^ -h a'u2 -j- 2&''uiî + 2xuw -+- 2yvw + lo^ = 0. (2)
116. Théorème de Newton. — Le lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites est une droite qui passe par les milieux des diagonales du quadrilatère formé parles quatre droites.
Soient Ui^Vi,wi (i=l,2, 3, 4) les coordonnées des quatre droites.
L'équation d'une conique ayant pour centre le point (a?, y; est Téquation (2) ; la conique étant tangente aux quatre droites données, on aura les relations
awj ^ a'v\ 4- 2b"u^Vi + 2xuiWi -|- 2yViWi + loj = 0, aul 4- a'vl -+- 26"t*2^2 + 2XU2W2 -+- 2yv2W2 4- io| = 0, aul -+- a'vl ■+- 2b"usVs -+- 2xu3Wz -+- 2yv.iW3 -h wl = 0, aul -+- «'^4 + 2b''uiVi. -+- 2xu^Wi. -\- 2yv^w^ + io| =z 0.
En éliminant a, a', h" entre ces quatre équations, on aura l'équalion du lieu.
On obtient ainsi
u\ v\ Wji?i 2xUiWi 4- 2yViWi 4- w\ u\ v\ «2^2 2XU2W.2 -h 2yv2W2 -f- lof ul vl UsVs 2xusW3 4- 2yvsW3 -hwî "" ' u\ vl W4V4 2xuj^Wi 4- 2yv^Wi. 4- f^l équation qui représente une droite.
Deux sommets opposés du quadrilatère peuvent être considérés comme formant une conique tangente aux quatre droites ; il en résulte que le milieu de ces deux points fera partie du lieu.
On voit ainsi que le lieu est la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère formé par les quatre droites.
117. Exercice. — Lieu des centres des hyperboles équilatères conjuguées par rapport à un triangle.
Prenons deux côtés du triangle pour axes de coordonnées ; soient a Tabscisse du point A et p Tordonnée du point B. '
L'équation générale des coniques conjuguées par rapport au triangle OAB est (111)
A{ua 4- wf + B(t?p 4- w)^ -f- Cio» = ou, en développant, Aa2w2 + B?2v2 H- (A -+- B -+- C)io2 + %kaLUio 4- 2^^vw = 0. (3) Divisons par A-+-B4-C et posons
Aa ^ Bp
a? et y désignant les coordonnées du centre.
Nous obtenons alors
(xxu^ -\- pyt?^ 4- "Zoouw 4- 2t/i?to 4- lo^ =z 0,
qui est Péquation de la conique conjuguée par rapport au triangle AOB et ayant pour centre le point (a?, y).
Écrivons que cette conique est une hyperbole équilatère ; nous aurons réquation du lieu.
On doit avoir
A 4- A' — 26" cos e = ou
a' a" — ft2 ^ a!' a — b'^—2(bb' — a'b") cos 8 = 0.
Il vient dans le cas particulier considéré
Py — y^ -hax — a?^ — 2an/ cos 6 = ou
x^-\-y^-\-2œy cos 6 — aa?— Py = 0,
équation du cercle circonscrit au triangle OAB.
118. Pour que l'équation générale (3) représente une parabole, il
faut que
L'équation générale des paraboles conjuguées par rapport au triangle OAB sera donc
\u [uoi 4- 2i/?) + {11? (up 4- 2to) = 0.
119. Diamètres. — Le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction fixe dans une conique est une droite qu'on appelle diamètre conjugué de la direction donnée.
Ce lieu peut être en effet considéré comme la polaire du point à Tinfini dans la direction des cordes.
Soient a, p les paramètres directeurs de cette direction ; le point à Tinfini dans cette direction a pour coordonnées homogènes a, p, 0. Si w, V, w sont les coordonnées de sa polaire, fui fv et /li sont respectivement proportionnels à a, p et 0.
On a donc
