Deuxième cas. a
La conique est une parabole.
L'équation en S admet une seule racine, -7 — — -r ,
^ A-+-A' — SB^cosô
et à cette racine correspond un axe que nous prendrons pour axe des a?', en écrivant son équation sous la forme
u^x -h v^y -hW2 = 0, avec la condition
wî + «2 — âwjya cos 6 = 1.
Pour axe des y' nous prendrons la tangente au sommet, et nous écrirons son équation
UiX -+- Viy -\-Wi = 0, avec la condition
ul -hv\ — 2miVi cos 6 = 1.
L'équation de la conique devient alors comme précédemment
Ma, V2, W2 étant les coordonnées de Taxe, on a
et
Comme tii, «i, r^i sont les coordonnées de la tangente au
sommet, on aura
/*(wi. Vu Wi) = et
puisque le point de contact de cette tangente est situé sur Taxe.
L'équation réduite est donc
^2v'^+-r—JUuu t?,. Wi) = sin u
ou
S2t7'2H — ^— (6'wi 4- bVi) = 0; sm 6' '
Ml et ui seront déterminés (d33) par les équations
Mj ^1
A' -i- ^ cos ~~ 6 4- ^' cos 6
et
Mf-huJ — 2w,ui cos 0^1.
On en déduit sans peine
b'ui -^bvi = -h -T— r s/b^-hb'^-h'iàà' cos ê. ~~ sm e
Remarquons aussi que
A -4- A' — 2B" cos = — (62 + A'â + 2ÔÔ' cos 0), puisque a" = 0; par suite
2 62-h6'2^266' cosO
L'équation réduite peut donc s'écrire
Au'2 sin2 G zh 2a'M;'(62 -+- b'^ 4- 266' cos e)« = 0.
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 149
Si p désigne le paramètre, Téquation s'écrit
ptj'2 zh 2u'w' = 0, et ron a
I ^ I sin^ e P=
|A| désignant la valeur absolue de A.
138. Applications numériques. — 1° Soit à trouver Téquation réduite de Thyperbole équilatère déjà étudiée au numéro 99. Son équation, rapportée à des axes rectangulaires, est
t«2 j ^2 f 2t?io — 2uv = 0.
On a
l'équation en S est donc
par conséquent Téquation réduite est
Son équation ponctuelle est
aj'2 — y2 j^~ 0.
2<^ Considérons maintenant la parabole qui a pour équation
u^ — 4wr 4- 4i?2 — 2aw? -h t?io = .
Calculons son paramètre, en supposant droit Tangle des axes,
par conséquent
139.. Dans les problèmes où figurent des coniques de grandeur constante, il faut se servir de Téquation aux longueurs des axes ou de Texpression du paramètre.
Si Ton veut écrire par exemple qu'une ellipse a pour demilongueurs d'axes a et p, on écrira que Téquation en p^
aV + ^^l^-t- A' — SB" cos 6)p2 + a sin^ 6 =
a pour racines a* et p*, c'est-à-dire que
ISO COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE
A -h A' — 2B'' co.se
... A sin^ e
140. Problème. — Une ellipse de grandeur constante tourne autour de son centre ; trouver le lieu du pôle d'une droite fixe et l'enveloppe de la polaire d'un point fixe.
Prenons deux axes rectangulaires passant par le centre de Tellipse, Taxe des y étant parallèle à la droite fixe.
Soit
réquation de la droite fixe ; appelons a et p les demi-axes de Tellipse.
L'équation de cette courbe sera
f(u, t?, w) = au^ ■+■ a'v^ -f- 2b"uv + lo^ = ; on peut en effet supposer qu'on a préalablement divisé le premier membre de l'équation par a" ; de plus le centre étant à Torigine, les coordonnées de ce point sont nulles.
Écrivons que les demi-longueurs des axes sont égales à a et P ; on
(2) a2p2 = aa' — b'K
Les coordonnées du pôle d'une droite (w, u, w) sont
fu au H- b^v
fv__ b^u-ha'v ,
nous aurons les coordonnées du pôle de la droite fixe donnée, en faisant dans ces formules
On obtient
— P—P En éliminant a, a' et b" entre les équations (2) et (3), on aura réquation du lieu.
On obtient sans difficulté
pi{x^ + y2) —px{a^ -h p2) j a2ps = 0, équation d'un cercle qui a son centre sur Ox.
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 131
Cherchons maintenant Tenveloppe des polaires d'un point par rapport à la même ellipse.
Prenons deux axes rectangulaires passant par le centre de Tellipse, Taxe des œ contenant le point fixe, dont nous désignerons l'abscisse par d.
Si M, r, K? sont les coordonnées de la polaire de ce point, on aura
au-\-h''v > 1
6''w-ha't? = 0. \
En éliminant a, a' et h" entre les équations (2) et (4), on aura l'équation tangentielle de Tenveloppe cherchée. On trouve
a2p»(M^ H- 1?») -h d^w^ + rf{a2 + P«)mio = 0.
On voit que Tenveloppe est une hyperbole {a"A < 0) symétrique par rapport à Oa?, puisque l'équation ne change pas quand on change v en — v.
Le centre a pour abscisse — -^ — ; on a aisément les sommets
en cherchant les tangentes parallèles à 0*y c'est-à-dire en écrivant que a? — ^ = est tangente ; on trouve ainsi que les sommets
ont pour abscisses -r et j> ce qu'on pouvait voir a priori.
Enfin, on peut remarquer que les tangentes issues de l'origine satisfont à l'équation
«2 -f. tj2 = ;
elles ont pour coefficients angulaires ±i : l'origine est donc foyer.
