Deuxième méthode de réduction. — Invariants

Nous allons démontrer qu'étant donnée Téquation d'une conique

il existe certaines fonctions des coefficients et de Tangle des axes qui conservent la même valeur quand on fait une transformation de coordonnées quelconque ; ces fonctions s'appellent des invariants.

Dans les formules de transformation (4) établies au numéro 34, nous avons introduit un facteur X arbitraire ; il est clair que les invariants dépendent de ce nombre ; nous le

choisirons de manière que les racines de l'équation en S soient des invariants.

Il importe pour cela que Ton ait

u* -H u* — 2wu cos 6 = w'* -j- v'^ — 2u'u' cos 0', '

u, u, 10 et u\ v' , w' désignant les coordonnées d'une mencie droite dans les deux systèmes, 6 et 6' les angles xOy cl x'O'y',

Égalons les distances du point 0' à cette môme droite, calculées par rapport aux deux systèmes d'axes; on aura, au signe près,

w' sin e' __^ {up -^vq-^-w) sin

yjyl'i ^ ^'i 2>w't;' COS 6' ~ >Ju^ -m;» — 2mu cos 6 ou

u'2 | u'2 9u'u' cos 6' u^ -I- w* — 2wy cos

w''^ sin* 0' {up -\ vq-^ wf sin*

Pour que les numérateurs soient égaux, il faut que les dénominateurs le soient, c'est-à-dire que

w'^ sin* 6' = (up -+- vq + wy sin* 6.

Mais nous avons la formule

Iw' = tip -i-vq -\-w.

On doit donc avoir

__ sin e'

sm e'

on peut prendre le signe -h, et les formules de transformation deviennent, en remarquant que p — a = 6' :

u' sin S — v' sin a

sm e

— w'sin(0 — p)-i-î;' sin(6 —

sin

— »sin 3-i-7sin(0 — 8) , psina — ûrsin(6— a) , sin 6' ,

w = — •. —u'-^^ ?-— -^ ■ « +-^ — -Jf^ •

sm sm e sm 6