Troisième cas. — L'équation (2) a deux racines doubles
A chaque racine double correspond : ou bien une tangente double touchant les deux coniques au même point, ou bien deux tangentes se coupant sur Taxe Oij.
Les deux coniques pourront donc être : ou bien bitangentes, les tangentes aux points de contact constituant deux tangentes
communes doubles, ou simplement tangentes et admettre deux tangentes simples, ou enfin pourront avoir quatra tangentes communes distinctes se coupant deux à deux sur Oy.
Si les deux racines doubles sont imaginaires conjuguées, les deux coniques seront bitangentes, les points de contact étant imaginaires.
169. Quatrième cas. — V équation {^) a une racine triple et une racine simple.
Ces deux racines sont toujours réelles. A la racine simple correspond une tangente commune ; quant à la racine triple, deux cas sont à distinguer.
1° Si cette racine n'annule pas Pi — P, à cette racine ne correspond qu'une tangente, on dit que c'est une tangente triple, les deux coniques sont tangentes comme dans le cas précédent ; seulement la tangente commune est la réunion de trois tangentes. On dit que les deux coniques ont un contact du deuxième ordre, et nous verrons plus tard que les courbes se traversent.
2° Si la racine triple annule P, — P, à cette racine correspondent deux valeurs de u et par suite deux tangentes ; l'une d'elles doit compter pour deux, et par suite les deux coniques seront tangentes au même point à Tune de ces droites, comme on peut d'ailleurs le démontrer analytiquement de la manière suivante.
Égalons à zéro la dérivée seconde de R(u, w) par rapport kv] on obtient, en remaixjuant que pour la racine triple
on a
(Qi - or - (p; - po(pQi - QPi/ = 0. (4)
Or pour que le point de contact soit le même, on doit avoir
2i/H-P P'u -+■ Q' 2m 4- Pi "" Pii/H-Q'/ et comme P = Pi, cette condition s'écrit
PU-hQi
OU
Tout revient à démontrer que cette quantité est racine de l'équation
c'est-à-dire que Ton a
ce n'est pas autre chose que la relation (4), où l'on remplace Pi par P et Qi par Q.
Cela nous montre en même temps que les deux valeurs de u sont toujours réelles.
Enfin il peut arriver que ces deux valeurs de u soient égales ; dans ce cas les deux coniques ont un contact du deuxième ordre.
170. Cinquième cas- — U équation (2) a une racine quadruple, 1° Si cette racine n'annule pas Pi — P, les deux coniques
admettent une tangente commune, dite tangente quadruple, ou réunion de quatre tangentes communes ; cette tangente touche les deux coniques au môme point. On dit que les deux courbes ont en ce point un contact du troisième ordre.
2° Si cette racine annule Pj — P, à cette racine correspondent deux valeurs de w ; on a par suite deux tangentes communes, et il sera aisé de vérifier que Tune de ces tangentes touchera les deux coniques au même point et que le contact sera du second ordre, ou bien que les deux coniques seront bitangentes.
Si les deux valeurs de u sont égales, il y aura contact du troisième ordre.
171. Il résulte de cette discussion que deux coniques ont toujours quatre tangentes communes réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues.
Si deux tangentes sont confondues, il y a contact ordinaire ; si trois tangentes sont confondues, il y a contact du deuxième
ordre ; enfin si les quatre tangentes sont confondues, le contact est du troisième ordre.
Il est clair que Tune de ces tangentes communes peut avoir son point de contact à Tinfini, c'est-à-dire être asymptote ; il peut aussi arriver que la droite de Tinfini soit tangente commune, ce qui a lieu dans le cas de deux paraboles.
Enfin à une tangente imaginaire correspond toujours une tangente imaginaire conjuguée.
172. Il ne sera pas sans intérêt d'étudier maintenant les différents ordres de contact au point de vue géométrique.
Considérons d'abord deux coniques tangentes, le point de contact étant à distance finie ; nous prendrons ce point pour origine et la tangente commune pour axe des œ.
Pour que Téquation
au^ + a'v^ + a"io2 -\- 2bvw 4- 2b' wu -\- 2b''icv = représente une conique tangente à Oa?, il faut que a' = ; en outre Téqualion du point de contact étant
■1 f, = b'n + 6wj = 0,
pour que ce point de contact soit à l'origine, il faut que b" = 0. On voit alors que a ne peut être nul.
Nous pourrons donc écrire les équations des deux coniques
u^ + 2b'uw -+- 2bvw -h a^w^ =z ,
1*2 4. 2b[uw -h 2bivw + a^w^ = .
En éliminant tî, on obtient l'équation
[2{bi — b}v + (aï — a'')ioYw^
— 4(&i — b')[2ib'bi — bb[)v -+- {b'aî — a%)w]w^ = ;
elle admet la racine double lo = 0.
Pour que le contact soit du second ordre, il faut que lo — soit racine triple ; on doit avoir b — ôj = 0.
Enfin pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que w = soit racine quadruple, ce qui exige
6 — &i = 0, (b'i — b')(b'bi — bb[) = ,
ce qui donne
b^bi=0 et b' — b\ = 0.
Nous allons étudier maintenant la position des deux courbes aux environs de l'origine.
TANGENTES COMMUxNES A DEUX CONIQUES 191
Nous opérerons comme nous l'avons vu aux numéros 59 et suivants.
Nous poserons v =z — I et nous développerons u en série ordonnée suivant les puissances croissantes de w. Pour le faire aisément, nous pouvons résoudre Téquation de la conique par rapport à u ;
on a
u z= -^ b'w ±z ^b'^W — a"w^ -h 2bw,
qu'on peut écrire
u = — b'io ± <Jlbw 1 -t- i ' »
et par suite, en développant en série le coefficient de /55ïô,
Il = —b'w±: /2bw T 1 H ^^ w -] 1
ou
u = t^f2bw — b'w -i- zw^bw -^ 1 , (5)
s désignant dz 1.
On aura de même pour la deuxième conique
Ui = z<j2biW — b\w-\-zw^2b\w — — - — ^H (6)
Dans l'équation (5) on ne peut donner à w que des valeurs du signe de b, et dans l'équation (6) w ne peut être que du signe de &i.
Premier CAS. b^bi. Contact da premier ordre.
Tout d'abord si b et &i sont de signes contraires, w reçoit des valeurs de signes contraires dans les relations (5) et (6) ; il en résulte que les deux courbes sont situées de part et d'autre de Ox,
Supposons maintenant b et 6i de même signe, et positifs pour fixer les idées ; w ne pourra recevoir que des valeurs positives ; chacune des équations (5) et (6) détermine pour u deux valeurs infiniment petites de signes contraires ; nous comparerons les valeurs positives et les valeurs négatives.
En retranchant les équations (5) et (6) on a
M — wi = Z)Jw[s/zb—^i\-\-{b[ — b')w-\ ;
le premier membre a le signe de [\j2b — tJWi)i. Supposons b ^ b^ et prenons s = -j- 1 ; t* — ui sera posi-
lif ; au contraire pour e = — 1 , u — wi change de signe et devient négatif; ce qui montre que u est toujours supérieur à ih en valeur absolue.
On voit ainsi que les deux courbes ne se traversent pas.
Deuxième cas. b-=:b^. b'^b[.
Contact du second ordre .
En retranchant les équations (5) et (6) on obtient
u —ui = {b[~b')w-h
Supposons ft > ; w recevra des valeurs positives ; on voit que
te — Ui aura un signe constant, celui de bi — b'. Supposons encore b[ — 6' > 0.
Si s est positif, u et ui sont positifs et Ton a u'>u^\ si s est négatif, M et u\ seront négatifs, mais li sera plus petit que mi en valeur absolue. On voit ainsi que les courbes se traversent et sont tou^ jours d'un même côté de Ox.
: b't. Contact du troisième ordre.
Troisième cas.
On a cette fois
b = bi. b'
w — Wi =r zwsj^bwx — -
u — wi change de signe avec s ; donc en supposant ô > 0, u est toujours supérieur à u^ en valeur absolue ; les deux courbes ne se traversent pas et sont toujours d'un même côté de Ox,
173. Supposons maintenant que le point de contact soit à Tinfîni, c'est-à-dire que les deux coniques aient une asymptote commune ; si nous la prenons pour axe Oo?, les équations des coniques s'écrivent
w2 4- 2b'uw -h 2b"uv + a^w^ — 0,
u^ + 2h\uw -\- 2b'[uv -+- a'iw^ — .
En éliminant u on obtient
ij ayw^
- 4[(6; — b")v -h {bi — b')w][{a'[b" — a"b'[)v -+- «ô' — a"b[)w]w''' == 0.
Cette équation admet la racine double w = 0.
Pour que le contact soit du deuxième ordre, il faut que le coeffi-
cient de v^w^ soit nul, ce qui donne la condition
Si bl — b" = 0, à la racine lo = correspondent deux valeurs de u inégales, et par conséquent il n'y a pas contact du second ordre.
On doit donc avoir
alb' — a^bl = ou
a" ~ aï*
On voit en effet aisément que a" et a* ne peuvent être nuis. Pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que le coefficient de vw^ soit nul, ce qui donne
{bt-b''){a'[b' — a'b.l) = et, comme plus haut,
Nous allons poser encore i? = — 1 , et développer en série u par rapport aux puissances croissantes de w. Nous n'aurons qu'une seule valeur de u infiniment petite en même temps que w.
En résolvant Téquation de la conique par rapport à w, il vient
M = &" — b'w ±: sj{b" — b'wY — a''w^, u = b" — b'w àz ^&"2 — 2b"b'w -h [b'^ — a'')w\ et la valeur de m, infiniment petite avec w, sera
u = b' — b'w-b'ïi—^^i
en remarquant que b" ne peut être nul.
Développons en série le coefficient de b" ; on obtient
ou
On aura de même pour la deuxième courbe
Ces développements permettront de déterminer la position de chaque courbe par rapport à l'asymptote, comme on l'a vu au numéro 64.
Pour avoir la position relative des deux courbes, retranchons les équations précédentes ; nous avons
fa" aî\ o . /«'&' «W\ , ,
" a" •iijt jy' Contact du premier ordre,
u — ui a un signe constant quel
tf
que soit w. Supposons d'abord -p
et -p de signes contraires, par ex-
emple yr>^ et -ri < 0; m est
toujours positif et w, toujours négatif.
Supposons maintenant
pr et ^ de même signe,
positifs par exemple, et de plus
U en résulte que u, Uy et la différence w— «i sont positifs. 11 est alors facile de construire la courbe.
Deuxième CAS. y ^ v' ô^"^^*
Contact du deuxième ordre.
On voit alors que dans la différence u — «i, le coefficient de w^ est nul, mais celui de w^ est différent de zéro.
u et ui sont de même signe, supposons-les positifs ; quant à la différence u — w,, elle change de signe avec to, ce qui permet de construire la courbe.
Le produit des carrés des longueurs géométriques des axes est, au
signe près, (136), —^^ —
Si réquation de la conique est
w2 4- a''w^-\-V)'uw 4- 2h''uv z=
ce produit se réduit à ^ sin^ 6 .
11 en résulte que si deux hyperboles ont une asymptote commune et un contact du deuxième ordre, le produit des longueurs géométriques des axes est le même pour les deux courbes, et la réciproque est vraie.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que deux hyperboles qui ont une asymptote commune aient un contact du deuxième ordre sur cette asymptote est que les rectangles construits sur les axes aient même aire dans les deux courbes.
Troisième cas. -t» =t7- — «=-4* Contact du troisième ordre, b" b\ a" al
u — Ui est infiniment petit du quatrième ordre et a un signe constant quel que soit w ; de plus u et u^ ont le même signe^ on a donc la même forme de courbe que dans la seconde hypothèse du premier cas.
Mais on peut remarquer que les deux coniques ont même centre, et que les rectangles construits sur les axes ont même aire.
On a donc le théorème suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que deux hyperboles qui ont une asymptote commune aient un contact du troisième ordre est qu'elles aient même centre et que les rectangles construits sur les axes dans les deux courbes aient même aire,
174. Pour terminer cette discussion, nous allons considérer deux coniques tangentes à la droite de Tin fini au même point, c'est-àdire deux paraboles ayant leurs axes parallèles, et nous chercherons la condition pour que ces courbes aient à rinQni un contact du deuxième ou troisième ordre.
Nous prendrons Taxe des x parallèle à la direction commune des axes, et comme cette direction a pour paramètres directeurs b' et b, nous aurons & = 0.
Les équations des deux paraboles peuvent alors s'écrire
u^ H- ^b^uv -^ 2b'uw -+- a'v^ = 0, tf.2 [- 2b'[uv -H 2b\uw 4- a\v^ = 0.
En éliminant u on obtient
(a;— a')2i?*—4[(6';- &>+(&;— &')î/j][(a;6''-a'&;)t?4-(a;&'—a'&;)io]v2=:0.
Cette équation admet deux fois la racine t? = ; à cette racine correspond la valeur m = 0, ce qui donne comme tangente double la droite de Tinfini.
Pour que le contact soit du deuxième ordre, il faut que le coefficient de wH^ soit nul, c'est-à-dire qu'on ait
bi — b' ne peut être nul, sans quoi à la racine v = correspondraient deux valeurs de u différentes.
On devra donc avoir
a\b' — a% = ou
Pour que le contact soit du troisième ordre, il faudra que le coefficient de wv^ soit nul, ce qui donne
a' a[ On pourrait également étudier la position relative des branches infinies en faisant to = — i, et en développant u en série ordonnée par rapport aux puissances de v.
On a
u = — {b"v — b') ±1 yl[b"v — b'Y-a'v^,
ti = — [b"v — b') ± yjb'^ — 'ib'b'v + (ô^^ — a>2 ^
ou bien
Si m désigne le coefficient angulaire de la droite v^-\-vy — 1 =0, on a m = > et le développement précédent peut s'écrire
V est rinverse de l'ordonnée à Torigine.
On aura de même pour la deuxième parabole
et en faisant la différence,
Considérons la formule (7) ; elle nous permet de déterminer la position des branches infinies de la première courbe.
En effet, en supposant
Premier cas.
— --r> > 0, on voit que m a le signe de
V pour les valeurs de v sufïîsamment petites ; on voit ainsi que la parabole tourne sa concavité vers les x positifs ;
ce serait le contraire si — rrr; était
négatif.
Pour avoir la position relative des branches de courbes, nous distinguerons plusieurs cas comme précédemment.
Contact du premier ordre.
Si %, 6t T7 sont de signes contraires, les deux paraboles tournent
Oj
leurs concavités en des sens différents.
Si T-, et rr sont de même signe, négatifs par exemple, les deux
paraboles tournent leurs concavités vers les x positifs, et m — mi a le signe de «, si
b\ ^ h' Nous aurons donc les branches de courbe cicontre.
a! a\ b'^b: ^ Deuxième CAS. -r, =t7* — 7=-7' Contact du 0^ a ay
deuxième ordre.
Les deux courbes tournent toujours leurs concavités dans le même sens, on voit de plus que m — wi a un signe constant quel que soit v.
Les branches infinies des deux courbes s^entrecroisent.
On peut remarquer aussi que les paramètres des paraboles sont égaux.
Nous avons vu en effet que le paramètre d'une parabole est donné par la formule (137)
A I sln- e
(6« -h 6'2 ^ 2hb' cos e)^
Cette formule devient pour la première de nos courbes
I — a*b'^ I sin^ Q __ la'
Gomme jp =z ji y les paramètres des deux paraboles sont égaux.
On peut énoncer le théorème suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que deux paraboles aient un contact du second ordre à rinfini, est que ces deux paraboles aient leurs axes parallèles^ leur concavité dans le même sens et leurs paramètres égaux,
Troisième cas. rr = --î • — / = -7 • Contact du troisième ordre, h b\ a' a\
Les deux paraboles ont toujours leur concavité dans le même sens, elles sont égales et ont même axe. La disposition relative des branches infinies est la même que dans la seconde hypothèse du premier cas. On peut énoncer le théorème suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que deux paraboles aient un contact du troisième ordre à l'infini, est quelles soient égales, qu*elles aient même axe et qu^elles tournent leur concavité dans le même sens.
