CHAPITRE XI

CONIQUES INSCRITES DANS LE QUADRILATÈRE DES TANGENTES COMMUNES A DEUX CONIQUES

175. Théorème. — // existe une seule conique tangente à cinq droites dont quatre ne sont pas concourantes.

Désignons par w,, v,-, Wi (i = 1, 2, 3, 4, 5) les coordonnées des cinq droites.

L'équation d'une conique tangente à ces cinq droites sera

au^ -h a't)2 H- aW -i- 2bvw h- 2b' wu -f- 2b''uv = 0,

et pour déterminer les coefficients, nous aurons les relations suivantes, obtenues en écrivant que l'équation est vérifiée par les coordonnées des cinq droites :

au] H- a'vf H- a''wl -+- 2bviWi -\- 2b'WiUi -+- 26X^1 = , aui + a'vl -h a''w\ + '^bv^w^ + ^b'w^u^ H- 2ô''w2V2 = 0, aul 4- a'vl + a"w\ + Sôvg^a 4- "^b'w^u^ -1- Wu^o^ = 0, ) (1) aul H- a'vl H- «"w^î -H '^bv,jju^ 4- âô'iy^w^ -h Wu^v^ = 0, aul + a'vl + «''^5 -*- 2^VgW;6 -t- âô^'/^gi/g -i- âô^Mg^g = 0.

Nous avons là cinq équations linéaires et homogènes à six inconnues, a, a, a\ ô, b' , b\

Supposons que l'un des déterminants à cinq lignes et cinq colonnes formés avec les coefficients des équations soit diffé-

rent de zéro, par exemple

vï

ViWi

ViWî

WiUt

On peut alors résoudre les équations par rapport aux cinq premières inconnues .en fonction de la sixième ; on aura des expressions de la forme

a = ab', a' = oL'b\ a" = ^"b\ h = ^b\ b' = ^'b" ;

a, a', ... p' étant fonctions des quantités Wf, Vf, Wi. L'équation de la conique pourra alors s'écrire

b"{au^ -\- 7!v^ -h aW -h ^^vw H- 2^'wu -f- 2mu) =t 0,

et, quel que soit b\ cette équation représente une seule conique. Le théorème est ainsi démontré dans cette hypothèse. L'équation de cette conique peut se mettre sous forme de déterminant :

u^ v^ w^ vw wu uv

U\ vf wl ViWi WiUi UiVi Ul V\ W\ V2W2 W^U2 «2^2

W| V3 ^^. ^3Î^S W^aWs «3^3

ni vl wl v,jjOg^ w^u^ u^v^

ul vl wl V^W^ W^U^ WgVg

Supposons maintenant que tous les déterminants à cinq lignes et cinq colonnes qu'on peut déduire du tableau des coefficients soient nuls, et qu'un déterminant à quatre lignes et à quatre colonnes soit différent de zéro, par exemple

ViWi

VîWi

On pourra alors résoudre les quatre premières équations par rapport à a, a', a" et 6, en fonction de b' et de b\ d'après la règle de Cramer, ce qui donnera des expressions de la forme

a, «4, ... pi étalât fonctions des quantités données w,-, »,-, Wt.

Ces valeurs, transportées dans la cinquième équation, la vérifieront, quels que soient b' et b".

Les expressions précédentes constitueront donc la solution générale des équations données ; en transportant ces valeurs dans Téquation de la conique, on obtient

et cette équation, où b' et b" sont arbitraires, représente une infinité de coniques.

Je vais démontrer que dans ce cas, sur les cinq droites données, quatre sont concourantes .

Il résulte des hypothèses que toutes les solutions des quatre premières équations (1) vérifient la cinquième; autrement dit, que toutes les coniques tangentes aux quatre premières droites sont tangentes à la cinquième. Supposons que ces quatre premières droites forment \b/^ un quadrilatère ABCD, et considérons

(i)/''N.(2) y la conique formée par les points A A><^ \r ^^ ^ ' ^^^^^ conique est tangente aux

uVv y(\\ quatre premières droites; la cinquième

y\} droite devant être tangente à cette co-

^ ^ nique devra passer par Tun des points

A ou C, parle point A par exemple; on verrait de même que cette cinquième droite doit passer par l'un des points B ou D, par le point B par exemple; cette droite devrait donc coïncider avec la droite AB, ce qui est impossible parce que nous supposons les cinq droites données distinctes ; il faut donc que le point B coïncide avec le point A, c'est-à-dire que la droite (2) passe par l'intersection de (1) et de (4) et

alors la droite (5) passera par ce môme point, et nous voyons que quatre des droites données seront concourantes.

176. Si sur les cinq droites, trois ne sont pas concourantes, la conique tangente à ces cinq droites est une véritable conique qui ne peut se réduire à deux points.

Si trois des droites sont concourantes, la conique tangente aux cinq droites se compose de deux points, dont l'un est le point de rencontre des trois droites, et Tautre le point d'intersection des deux autres droites .

Enfin si quatre des droites données sont concourantes, ce point de rencontre et un point quelconque de la cinquième droite forment une conique tangente aux cinq droites.

Nous verrons plus loin une démonstration analytique de ces résultats (233).

177. Théorème. — // existe une seule conique tangente à quatre droites, le point de contact sur Vune ff elles étant donné.

Prenons le point de contact donné pour origine et la tangente correspondante pour axe des x\ Téquation de la conique peut s'écrire

au^ -h aW^-i- ^hvw H- ^Vwu = 0.

Soient

UiX -h Vft/ -h 1 =0 (i = 1, 2, 3)

les équations des trois autres tangentes qu'on suppose ne pas passer par l'origine. On aura les équations

26'i/i -4- 20^1 + a" 4- au\ = 0, 26'w2 -h 2ôt;2 -h d' + au\ = 0, 26' W3 H- 26v3 -t- a" -f- aul = 0.

Si l'on suppose les trois droites non concourantes, le déterminant

est différent de zéro; on peut résoudre les équations par rapport h b\ b eia" en fonction de a, et on obtient une seule conique répondant à la question.

178. Théorème. — Il existe une seule conique tangente à trois droites^ les points de contact de deux d'entre elles étant donnés.

Prenons ces deux dernières tangentes pour axes, et désignons par a et p Tabscisse et l'ordonnée des points de contact.

L'équation générale des coniques tangentes à ces droites aux points donnés est (131)

oL^uv-h oiuw-\- ^vw-h y^w^ = 0.

En écrivant que cette conique est tangente à une autre droite, on détermine une seule valeur pour X.

179. Théorème. — Il existe une seule conique ayant avec une conique donnée en un point donné un contact du deuxième ordre ^ et tangente à deux droites.

Prenons le point de contact pour origine et la tangente pour

axe des x.

Soit

M* H- aW -h ^hvw + 2b' wu =

a conique donnée.

La conique cherchée aura pour équation

w* -I- alw* -h 2bivw H- "àb'^wu = 0.

et pour que le contact soit du deuxième ordre, on doit avoir b^ = b (172).

En outre, les coefficients al et b\ seront déterminés en écrivant que la conique est tangente à deux autres droites.

On démontrera de la même manière le théorème suivant

180. Théorème. — Il existe une seule conique ayant avec une conique donnée en un point donné un contact du troisième ordre^ et tangente à une autre droite.

181. Tous ces théorèmes subsistent quels que soient les tangentes et les points de contact, à distance finie ou infinie.

Ainsi, il existe une seule parabole tangente à quatre droites, une seule hyperbole asymptote à deux droites et tangente à une troisième droite ; une seule parabole tangente à trois droites, la direction de Taxe étant donnée, etc.

182. Equation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère circonscrit à deux coniques*

Soient deux coniques ayant pour équations

f(Uy v,w) = au^ -\- a'v^ -\-a"w^-^ibvw -^2b'wu -^ Wuv = 0, fi{u, V, w) = aiU^-\-a[v^+alw^-i-2biVW-^2b[wU'\-2bluv = 0;

supposons quelles admettent quatre tangentes communes distinctes; je dis que Téqualion générale des coniques tangentes à ces quatre droites est

f{u,v,w)-\-lif,{u,v,w) = 0. (2)

En effet, quel que soit |i, celte équation est vérifiée par les coordonnées' des quatre tangentes communes, puisque ces coordonnées annulent f{u, t?, w) et ^(w, v, w).

Tout revient à démontrer qu'on peut déterminer fx en sorte que cette équation représente une conique (C) quelconque tangente aux quatre droites.

Soient Mq, Uq, Wq les coordonnées d'une tangente quelconque à la conique (C) ; écrivons que l'équation (2) est vérifiée par ces nombres ; on a

d'où

fi{u,,v,,w,y

l'équation (2) devient

elle représente une conique ayant cinq tangentes communes avec la conique (C) ; elle se confond avec cette conique ; il en résulte qu'on a pu disposer de ji en sorte que l'équa-

tien (2) représente la conique (C). Le théorème est démontré t*l

183. Si les deux coniques données sont tangentes en un point A, Téquation (2) est Téquation générale des coniques tangentes aux deux coniques au point A, et tangentes aussi aux deux autres tangentes communes que ces deux coniques admettent.

En effet, quel que soit ji, l'équation (2) représente une conique qui remplit ces conditions : si par exemple Uq, Vq, ^t'o sont les coordonnées de la tangente au point A, on aura

on en déduit sans peine

ce qui montre que (2) représente une conique tangente au point A aux deux coniqjies.

Ensuite on peut disposer de ji en sorte que Téquation (2) représente une conique quelconque (C) satisfaisant aux conditions précédentes. Il suffit comme plus haut de déterminer (x en sorte que Téquation (2) soit vérifiée par les coordonnées d'une tangente à la conique (C). Cette équation représentera alors une conique tangente à laconique (G), et ayant avec celle-ci trois autres tangentes communes; ces deux coniques coïncident (177).