XV-i-îiW = ; ceux du côté CA

XW+fxU = 0; et ceux du côté AB,

En raisonnant comme au numéro 10, on démontrera que

l'équation du point de rencontre M des deux droites Ai et Aa

qui ont pour coordonnées trilatéres Ui, Vi, W, et U2, V2, W2,

est

Ui V, w, =0,

U2 Va W2

-et par suite les coordonnées d-une droite quelconque passant par le point M sont

U =XUi 4-îiU2,

V = XVi -+- 11V2, w = XWi -+- fiWa.

Le rapport - a la môme signification qu'aux numéros 12

•et 13.

Si, en effet, Mi, Vj, Wi et Wj, 7)2, Wt désignent les coordonnées homogènes des droites Aj et Aj, on a, à un facteur constant près,

Ui = AiMi -H BiVj + Cl^/;l, U2 = AiWj h- B1V2 -h Git^'a,

Vi = A2U1 + BjUi H- Cat^i, V2 = A2M2 -h BjVî -f- C2m;2,

Wi = A3W1 -f- BaUi -H Cat^i ; Wî = A3U2 -H B3U2 -H G32<^2 *, •on en déduit

U = Ai(Xmi -h (JLU2) -h Bi(Xui -+- fiua) H- Ci(Xtt?i + ii2^;2),

V = A2(Xui -h fJiU2) -h Bsl^Ui 4- fJiUa) 4- C2(X2^, h- ixi^g),

W = A3(Xt/i H- [1^2) H- B3(Xî;i h- jaUj) 4- C3(Xw;j H- fxu^a).

Ces équations montrent que la droite qui a pour coordonnées trilatéres U, V, W a pour coordonnées homogènes Xw^h- jxws, XuiH-fiUâ, Xzi^i -4- fi?t'2 ; par conséquent cette droite fait avec Aj et Al des angles dont le rapport des sinus est proportionnel à

Quand - conserve un signe constant, la droite A se meut dans

un angle déterminé des deux droites Ai et A2, mais dès que

- change de signe, la droite a change d'angle (12). «H*

COORDONNÉES TRILATÈRES 259

Enfin, étant données deux droites a et a' passant par le point M et ayant pour coordonnées XUi4"îiU2 ^^Vi-hiiVa, XWiH-fxWa et VUi-f-fx^Uj, X'Vi+ix'Va, VWi-f-|i'W2, run des rapports anharmoniques des quatre droites A, a\ a,,

A2 est - : —., et si Ton a - = -. i les droites A et A' sont

conjuguées harmoniques des droites ^^ et a^.

Considérons par exemple deux droite^ passant par le sommet A du triangle de référence ; leurs coordonnées seront

0, V, W et 0, y W ; elles seront conjuguées harmoniques

V V par rapport aux côtés AB et AC si les deux rapports -- et —77

W W sont égaux et de signes contraires.

229. Application. — Soit un triangle ABC et un point D; les droites BD et CD rencontrent respectivement AC et AB en E e^ F ; la droite EF coupe BC au point G. Nous nous proposons de démontrer que les droites AD et AG sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites AB et AC.

Prenons le triangle ABC pour triangle de référence, et soit

aU-i-pV + YW = l'équation du point D.

Le point B ayant pour équation V = 0, on voit que

aU -h yW = est l'équation d'un point situé à la fois sur BD et sur AC ; c'est donc l'équation du point E.

De même ail -f- ^V = est l'équation du point F.

En retranchant ces deux équations, on obtient

qui représente le point G.

11 en résulte que les coordonnées de la droite AG vérifient les

équations

U=0, pV— yW=0.

Comme celles de la droite AD satisfont aux équations

U = 0, pV + yWciO,

le théorème est démontré.