Étant donnée maintenant l'équation d'une droite
ux-h vy-h toz = 0,
on pourra Técrire en introduisant les coordonnées trilatères,
u(AiX4-A2Y-4-A3Z)H-u(B,X4-B2Y-+-B3Z)-+-M;(CiX4-C2Y-f-C3Z) =
ou
UX-+-VY-hWZ = 0,
en posant
AU = ^^u + BlV-i-ClW,
hW — kçiU -\- Bau -h C^iv, \ (3)
AW = Aai/ H- Bsî; -f- €3?^,
h étant un nombre arbitraire.
On en déduit
Lu = aiU + a2V-f-<73W,
kv = h,\] + hy-\-b,Vi, \ (4)
kw = CiU H- CgV -h C3W.
Nous dirons que les nombres U, V, W sont les coordonnées tangentielles trilatères de la droite.
Les formules (3) et (4) permettent de déduire les coordonnées trilatères des coordonnées homogènes et inversement.
En raisonnant comme nous Pavons fait plus haut, on voit que l'équation tangentielle d'une courbe,
f{u, V, w) =■ 0, pourra s'écrire
/•(aiU^-flzVn-craW, ÔiU-hÔaVn-l^sW, dUH-CaVn-CaW) = 0,
et, réciproquement, toute équation de la forme
cp(U, ,V, W) =
sera l'équation tangentielle d'une courbe, puisqu'elle pourra s'écrire
cp (AiM H- BjU H- CiW, AgM -h B2V -h C2W, A3U 4- Bat; H- C^w) = 0.
Les degrés des équations transformées ne sont pas altérés ; il en résulte par exemple que
aU-4-pV-4-YW =
est l'équation d'un point, ce point ayant d'ailleurs pour coordonnées trilatères a, p, y.
COORDONNÉES TRILATÈRES 257
De même Téquation
aU2 -h a'V^ -4- a'W^ -h 2pVW -+- 2p' WU + 2p''UV =
est réquation tangentielle d'une conique.
En résumé, on voit que les coordonnées trilatères d'un point sont des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées homogènes de ce point, et toute équation homogène de degré m entre les coordonnées trilatères d'un point représente une courbe de degré m.
De même, les coordonnées trilatères d'une droite sont des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées homogènes de cette droite, et toute équation homogène de degré m entre les coordonnées trilatères d'une droite représente une courbe de classe m.
228. Gomme nous l'avons vu plus haut, l'équation du point est
Étant données les équations de deux points,
P = aU-hPV-hïW = 0,
l'équation générale des points situés sur la droite qui joint ces
deux points est
XPh-îiF = 0;
cela résulte de la démonstration donnée au numéro 17, attendu qu'on peut considérer P et P' comme fonctions linéaires de u, V, w.
Nous désignerons par ABC le triangle de référence ; les sommets A, B, C ont respectivement pour équations
les points du côté BC ont pour équation générale
