X2(H-X) — XY» — Z

équation qu'on peut mettre sous la forme plus symétrique

aX^ + a'Y^^-a^Z^ = 0,

avec la condition

L'équation tangentielle correspondante peut s'écrire

ou

avec la condition

Nous voyons ainsi que les coniques circonscrites à un quadrilatère sont conjuguées par rapport au triangle qui a pour sommets le point de concours des diagonales et les points de rencontre des côtés opposés.

Cherchons maintenant Téquation générale des coniques

inscrites ; nous formerons d'abord l'équation tangentielle, qui

peut s'écrire

PR-f-XQS = 0,

P, R, Q, S étant les premiers membres des équations des

sommets du quadrilatère.

COORDONNÉES TRILATÈRES 267

On obtient donc

(Uh-V — W)(U — Vh-W)+X(U— V — W)(U-i-V-f-W) =

ou

U2(l -h X) — V^d + X) - W^l -i- X) — 2VW (X — 1) = ou, en divisant par X + 1,

U»^V^ — W2-f-2(JLVW - 0.

On voit ainsi qu'il n'existe qu'une seule conique du faisceau conjuguée par rapport au triangle ABC; elle a pour équation

elle touche chaque côté du quadrilatère aux points où ces côtés sont rencontrés par les droites AB et AC.

L'équation ponctuelle correspondante est

(1 — |i2)X^ — Y2 — z^ - 2(jlYZ = 0.