Propriétés métriques des coniques. — Pour reconnaître

le genre d'une conique représentée par Téquation

/•(U, V, W)=aU2-4-a'V2-}-a''W2H-26VW-+-2ô'\VU-4-26'TFV=0, (10)

il faut déterminer les points de rencontre de cette courbe avec

la droite de Tinfini, et étudier leur réalité.

En raisonnant comme au numéro 84, il est aisé de voir que

les points de rencontre de cette conique avec la droite

(Ui, Vi, Wi) sont réels ou imaginaires selon que l'expression

A/'(Ui, Vi, Wi) est négative ou positive, A désignant toujours

le déterminant

Comme Téquationde la droite de Tinfini est X sin A+YsinB-f-Z sinC = 0, nous aurons à considérer l'expression /*(sin A, sin B, sin C), qu'il sera commode de représenter par une seule lettre, F par exemple.

Nous poserons donc

F = a sin* A -h a' sin* B -i- a" sin* C -+- 2ô sin B sin C

-h 26' sin C sin A -H 26* sin A sin B .

En conséquence, si :

aF > 0, la conique est une ellipse ; aF < 0, la conique est une hyperbole ; F = 0, la conique est une parabole.

245. Si F ;zf:0, la conique a un centre, pôle de la droite de l'infini, qui a pour équation

sin A^' H- sin B/V H- sin C/w = 0' ou

Les coordonnées de ce point sont alors

/•;(a, b, c), AiCa, b, c), ^(a, b, c).

Dans le cas de la parabole, l'équation qui précède représente un point à l'infini dans la direction de l'axe.

COORDONNÉES TRILATÈRES 277

246. Axes. — La détermination des diamètres n'offre aucune difficulté.

Pour avoir les coordonnées des axes, nous remarquerons qu'un axe peut être considéré comme une droite ayant même pôle par rapport à la conique et par rapport aux points cycliques.

Les coordonnées (U, V, W) des axes vérifieront les équations

U — V cos C — w cos B — U cos C 4- V — W cos A

— UcosB — VcosA-4-W ou

(a — <j)U -+- (ô* 4-(T cos C)V -H (b' + (J cos B)W = 0,

[b" -h ex cos C)U -h [a' — (j)V + (^ -+- a cos A)W = 0, [h' -h (j cos B)U+ (6 4- d cos A)V -h (a" - (t)W = 0.

Pour que ces équations aient des solutions non toutes nulles en U, V, W, il faut qu'on ait

a — <j b" -\-<5 cos C ô' H- (T cos B

ô^H-dCOsC ci — ff 6 -h (T cos A =0.

ô' -h <T cos B ô H- ,<j cos A a" — <j

Le premier membre peut se décomposer en une somme de six déterminants.

Le coefficient de <j^ est nul puisque les angles A, B, C sont les angles d'un triangle ; l'équation peut s'écrire

A — Ecy -h Fa2 = 0, en posant

E == A-hA' + A" — 2B cos A — 2B' cos B — 2B" cos C.

A chaque racine de Téquation en a correspond un axe ; la discussion ne présente pas de difficulté ; cette équation a toujours ses racines réelles, et quand elles sont égales, l'équation représente un cercle.

On voit donc que pour que l'équation (10) représente un

cercle, il faut qu'on ait