Longueurs des axes. — Désignons par
/i(m, u, w) = ttiu^ -\- alv^ -\- alw^ -h ^bivw -h 2b[wu H- "^b'iuv =
l'équation de la conique par rapport aux axes rectangulaires Ox et Oy dont l'origine, avons-nous dit, est à l'intérieur du triangle de référence.
On peut supposer que /"(U, V, W) se déduit de /i(u, t>, tv) il l'aide de la transformation (8), en supposant k = i\ on voit .aisément qu'en faisant la même substitution, u^ -i- v^ devient
U^ 4-V2H- W* — 2VW cosA~2WU cos B — 2UV cos C,
dételle sorte que, quel que soit le nombre j, l'expression
fi{u, 17, Z^) — <j(M^4-t;2)
se transforme en l'expression
— a(U» -h V» -i- w* — 2 V w cos A — 2WU cos B — 2UV cos C).
Si l'on désigne par Ai(<t) et a((t) les discriminants de ces formes et par jjl le module de la transformation, on aura, quel que soit a.
Or, on a vu (125) que
Ai((j) = aî(j2 — (t( Al + Ai) H- Al,
et d'après l'analyse du numéro précédent,
a(<j) =F<j2— Eff-hA.
D'autre part le module de la substitution est (240) — ; on aura donc
Fa«— E(JH- A = p FaX — (x(Ai -f- A'O+Ai]; on en tire
A. - gT A,
COORDONNÉES TRILATÈRES 279
Ai + A; = -E,
Cela posé, les longueurs des demi-axes de la conique sont données par l'équation (136)
a'iY -+- «î(Ai + Ai)p2 -+- Al = ; en remplaçant les coefficients par les valeurs qui précèdent on
obtient
R*F3p* + R2S^FEp2 + S*A = 0.
La conique sera un cercle si
E^— 4aF = 0,
et une hyperbole équilatère si
Dans le cas où la conique est une parabole, son paramètre est donné par la relation
^ -(AiH-Ai)^'
ce qui donne en coordonnées trilatères
248. — Foyers.— Gomme au numéro 221, on aura les coordonnées des foyers en écrivant que l'équation
AU, V, w)
-G(U2-hV2-hW'2-2VW cos A— 2WUcosB-2UV cos C)=0 (11)
représente deux points. Il suffit pour cela d'annuler le discriminant du premier membre, et on obtient l'équation en d du numéro précédent,
A (a) = Fa2— Eci-hA = 0.
A chaque racine de cette équation correspondent deux foyers déterminés par l'équation (11).
On voit ainsi que les foyers sont situés sur les axes puisque
les coordonnées de ces droites annulent les dérivées partielles du premier membre de Téquation (11) quand on y remplace. a par une racine de Téquation en a.
249. Nous terminerons ces considérations en cherchant le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique représentée par l'équation (10).
Les coordonnées des tangentes issues d'un point X, Y, Z à cette conique vérifient les équations
UXh-VY + WZ = 0,
AU, V, w) = o.
En éliminant W entre ces deux équations, on a une équation homogène du second degré en U et V qui peut s'écrire
l]\aZ' — ^b'ZX + a!'\^) 4- Wy{b"Z^ — ^'YZ — ^ZX -h a^'XY)
et en désignant par U, V, W et U', V, W les racines de l'équation précédente, et remarquant que l'équation en U et V
U U' admet pour racines t; et — , , on en déduit
UU' UV-r-VU'
a!Z^ — 2^ YZ + a!'Y'' —^(b"Z' — b'YZ — 6ZX -h a"XY j
aZ^— 2ô'ZXH-a"X^ En éliminant successivement U et V on obtiendrait
a"X^ — 26'ZX + aZ»
— 2(6X2 6"ZX — 6'XY + aYZ)
WW
a'X« — gô'XY + aY»
WW'
WU' H- uw
aY^ — 26"XY-i-a'X* ""
— 2(6'Y» — 6XY — 6TZ + a'ZX)
