Distance d'un point à une droite
Soit la droite UX h- VY + WZ =
et le point (X^, Yi, Zi).
L'équation de cette droite s'écrit en coordonnées rectangulaires homogènes
(U(a? COS X + y sin \—pz)-^ V(a? cos [i + y sin \j. — qz)
H- W(a? COS V + y sin v — rz) =. 0,
et par suite, en désignant par û?i, t/i, -i les coordonnées homogènes du point [a?!, yi, z^ étant liés à Xi, Yi, Zi par les formules (5)], la dislance du point à la droite est
U(a?tCOsX-t-yisinX— p^i)+V(a7iC0StJL+yisinîx— g3:J-i-W(a?iC0Sv-fyiSinv— r^Ti)
ïJi7(Dcosï+Vcos^ ou UX, +VYi-+-WZi
zt «iv^U^-h V^ -H W^ — 2VW cos A — 2WU cos B — 2UV cos C*
En introduisant les coordonnées absolues a^, Pi, Yi du point, on obtient
Uai+YpiH-WYi ±: v/D'-H V^ -hW — 2VW cos A — zWU cos B — 2UV cos C*
2. 11 résulte de ce qui précède que l'équation tangentielle d'un cercle de rayon R et dont les coordonnées du centre sont a, P, y est
(UaH-Vp + WY)2
— R2(U2 + V2 -f- W» — 2VW cos A — 2WU cos B — 2UV cos C) = 0.
COORDONNÉES TRILATÈRES 283
3. Distance de deux points. — Soient aj, Pi, yi et aj, ?2, ya les coordonnées trilatères absqlues des deux points ; a?i, vi et x^y y 2 leurs coordonnées rectangulaires.
La distance d des deux points est donnée par la relation
ci2=:(a?i-a?a)2H-(yi— y2)2.
Or réquation
est l'équation des droites isotropes passant par le point x\ y'. De même, en coordonnées trilatères, si Ton pose
g([], V, W) = U2-f-V2-f-W2 — 2VWcosA— 2WUcosB — 2UVcosC,
réquation des droites isotropes passant par le point a', p', y' sera
^(Py __ ^p', ,^a' — ay', aP' — pa') = 0.
Si dans cette équation on remplace a, 3, y en fonction de a?, y, on aura l'équation (1).
En tenant compte des formules de transformation (9) on pourra écrire
9W-^?'^ ï^'-aï, ap'-pa')=).[(a;-a77+{y-t/7], (2)
a', p', y' étant aussi remplacés en fonction de a?', y' ; jj. est un coefficient indépendant de a? net de y.
Or les deux membres étant symétriques par rapport à a?, t/ et a?', 2/', il en résulte aussi que X est indépendant de a?' et y'. On pourra donc écrire <^^ = 1 â'iPiYa — Yi?2» Ïi3t2 — «lYâ, «iPa— Pi^a),
X étant indépendant des coordonnées des deux points.
Nous déterminerons [i en appliquant cette formule à deux points particuliers, les sommets B et G. du triangle de référence, dont la distance est a.
On trouve ainsi
on en déduit
Oî!
et par suite la distance cherchée est
4. Angle des asymptotes d'une conique. — Désignons comme au numéro 247 par
/•(U, V, W) = aU2-+-a'V^+ ••. = 0,
fiiUy 1?, xo) •=. Oiu' H- a[v^ H :=
le9 équations d'une même conique en coordonnées trilalères et en coordonnées homogènes. Si Q désigne l'angle des asymptotes, on a
'°""" A,-hAi "" Ai-ha; ' ou, en tenant compte des formules du même numéro,
Si la conique était définie par son équation ponctuelle AX2-hA'Y2-f-... =0, son équation tangentielle pourrait s'écrire
( A'A" — B2)U2 -h (A*A — B'2) V2 + • • • = , et en appliquant la formule précédente, on aurait
en posant
* = (A'A'' — B2) sin2 A + (A-'A — B'^) sin^ B -f- • • • ,
E = A -f- A' H- A" — 2B cos A — 2B' cos B - 2B'' cos C .
En particulier, ce résultat nous donne l'angle de deux droites définies par une équation ponctuelle quadratique.
Comparez avec le résultat de M. Koehler, Exercices de géométrie analytique, première partie, p. 154.
5. On pourra essayer de résoudre à Taide des coordonnées trilatères les exercices déjà proposés ou résolus dans les chapitres précédents, notamment en ce qui concerne les coniques inscrites dans un triangle ou conjuguées par rapport à un triangle.
6. On considère les coniques inscrites à un triangle et telles que les normales aux points de contact soient concourantes. Trouver le lieu de leur point de concours.
On trouve pour équation du lieu, en prenant le triangle donné pour triangle de référence.
X(Y2 — Z2)(cos B cos C - cos A) + Y(Z2 — X2)(cos C cos A — cos B)
-h Z(X2 — Y2)(cos A cos B — cos C) = 0,
qui représente une cubique passant par les sommets du triangle,
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par les centres des cercles inscrits et ex-inscrits, par le point de concours des hauteurs, et qui a pour asymptotes les perpendiculaires aux côtés du triangle passant par le centre du cercle circonscrit.
