UU

a"Y» — :2éYZ + a'Z»

Or, pour que ces deux droites soient perpendiculaires, on

COORDONNÉES TRILATÈRES 281

doit avoir

UU'h-VV'+WW'~ (VW'-hWr)cosA — (WU' + UW)cosB

— (Ur-HVU')cosC = 0;

en remplaçant UU', YV, etc. par les dénominateurs des rapports précédents, on obtient le lieu cherché. On trouve Téquation

{a!-^a"-^U cos A)X>-H(a"4-âr-h2A'cos B)Y2-f-(a-i-a'-h2ô''cos C)Z>

H-2YZ(a cos k—b—b' cos G-rb" cos B)

H-2ZX(a'cos B-ô'— 6''cos A— 6 cos C)

+2XY(a'' cos C— ô"— ô cosB— ô'cos A) = 0.

On peut reconnaître que cette équation représente un cercle en récrivant sous la forme

.r . ^r T. r, ' ^J a'-ha"-h^bcos k^ a"-ha-+-2^'cosB,, a-ha'+26"cosC\

XsinA-f-YsmB-f-ZsmC) ^-r Xh r-^s Yh ^-^ Z

^ \ smA smB smC /

^ (YZsinAH-ZXsinB-+-XYsinC) = 0. (12)

sinAsinBsinC

Or on sait que le cercle circonscrit au triangle de référence a pour équation

YZsin A + ZXsinB4-XYsin C = 0;

on en conclut que l'équation (12) représente un cercle, et Taxe radical de ce cercle et du cercle circonscrit au triangle de référence est

a'H-a''-l-2^cosA^ a"H-a-f-26'cosB,, fl4-a'+26"cosC^ ^ ,,^,

^—i Xh r-- Yh r-z Z=0. 1-3)

smA sinB smC

Dans le cas où la conique est une parabole, Téquation (12) représente deux droites dont Tune est la droite de l'infini ; la seconde, représentée par Téquation (13), est la directrice.

250. Si la parabole est inscrite dans le triangle de référence, les ,coeffîcients a, a', a" sont nuls et l'équation de la directrice s'écrit

b\ cotg A -j- &'Y cotg B + b"! cotg C = 0.

On a aussi la relation

F = 2& sin B sin C H- 2b' sin C sin A H- 2b'' sin A sin B =

OU

sin A sin B sin C ~" * Cette condition exprime que la directrice passe par le point qui a pour coordonnées r » = » -^ » c'est-à-dire par le point de