Coniques harmoniquement inscrites et circonscrites
Soient deux coniques déterminées, Tune par son équation
ponctuelle et Tautre par son équation tangentielle,
A^» î/i 2) = ax^'^a'y^-\-a''z^+^hyz + WzX'\-^h''xy = 0, (S)
o(m, u, w) = aM2-ha't)«-+-aV4-2pyM; + 2p'M;M-h2p''Mo =0;. (C)
posons
e = aa + a'oi' + aV H- 26p -h 2ô'p' + 2 W,
et cherchons à interpréter géométriquement la condition
, Cette interprétation est immédiate dans les cas particuliers suivants :
1® Si la conique C se compose de deux points, la condition (4) exprime que ces deux points sont conjugués par rapport à S.
En particulier, si ces deux points sont les points cycliques, la condition exprime que là conique S est une hyperbole équilatère.
Si ces deux points sont confondus, la condition exprime que ce point double est situé sur la conique S.
2^ Si la conique S se compose de deux droites, la condition (4) exprime que ces deux droites sont conjuguées par rapport à laconique C.
Si ces deux droites sont confondues, la condition exprime que cette droite double est tangente à la conique G.
258. ^*^ Si la condition (4) est remplie, nous dirons que la conique S est harmoniquement circonscrite à G, et que la conique C est harmoniquement inscrite à S.
On verra plus loin les raisons de cette dénomination.
Théorème. — Dans un faisceau ponctuel de coniques il en existe en général une seule qui soit harmoniquement circonscrite à une conique donnée ; s'il y en a deux, toutes le sont.
Si Ton suppose en effet que les coefficients de f[x, y, z) soient fonctions linéaires d'un paramètre X, Téquation (4) est
(1) Les considérations présentées aux numéros 258, 259 et 260 sont empruntées aux conférences faites par M. Darboux à l'école normale.
du premier degré en X et admet en général une seule solution, à moins qu'elle ne soit identiquement satisfaite.
Théorème corrélatif. — Dans un faisceau tangentiel de coniques^ il en existe en général une seule qui soit harmoniquement inscrite à une conique donnée ; s'il y en a deux, toutes le sont,
La démonstration est immédiate.
259. Voici quelques conséquences fort simples de ces théorèmes.
1° Supposons que la conique S soit harmoniquement circonscrite à G ; soient HK et MN deux cordes de S conjuguées par rapport à G ; toutes les coniques passant par les quatre points H, K, M, N seront harmoniquement circonscrites à G, puisque dans ce faisceau de coniques la conique S et Tensemble des droites HK et MN jouissent de cette propriété. Il en résulte que les couples de droites HM, KN et HN, KM seront conjugués par rapport à G.
Supposons, comme cas particulier, que la conique G se réduise aux points cycliques : S .est alors une hyperbole équilatére, HK et MN sont perpendiculaires ; il en résulte que HM est perpendiculaire à KN, HN à KM ; ce qui démontre une propriété bien connue de Thyperbole équilatère.
2° Soient maintenant deux couples dépeints A, A' et B, B' conjugués par rapport à une conique S ; ces ensembles de points constituent deux coniques harmoniquement inscrites à S ; il en sera de même de toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère ABA'B', en particulier les deux points de rencontre des droites AB, A'B' et AB', A'B seront conjugués par rapport à la conique S.
Nous obtenons ainsi une démonstration du théorème de Hesse déjà établi au numéro 238.
260. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que S soit harmoniquement circonscrite à G est qu^il existe une infinité de triangles inscrits dans S et conjugués par rapport à G.
1® La condition est nécessaire. Supposons que S soit har-
moniquement circonscrite à C. Soit P un point quelconque de la conique S ; prenons sa polaire par rapport à C, et désignons par Q et R les points de rencontre de cette polaire et de la conique S. Je dis que le triangle PQR est conjugué par rapport à C. En effet, par le point P menons une droite quelconque PP', qui rencontre la conique S au point P'. Le faisceau ponctuel des coniques qui passent par les quatre points P, Q, R, F contient deux coniques, la conique S et Tensemble des deux droites QR et PP', qui sont harmoniqiiement circonscrites à C ; donc toutes les coniques de ce faisceau le sont également, en particulier l'ensemble de droites PR et QP' ; ces deux droites sont donc conjuguées par rapport à C, et comme le point F est un point arbitraire de la conique S, il en résulte que le point Q est le pôle de la droite PR par rapport à la conique C, et le triangle PQR est conjugué par rapport à cette conique.
2*» La condition est suffisante. Soit PQR un triangle conjugué quelconque par rapport à C ; je dis que toute conique S circonscrite à ce triangle est harmoniquement circonscrite à C. En effet, prenons un point arbitraire F sur laconique S ; le faisceau ponctuel des coniques qui passent par les quatre points P, Q, R, F contient deux coniques, les ensembles de droites PF, QR et QF, PR, qui sont harmoniquement circonscrites à C ; il en résulte que toutes les coniques du faisceau, et en particulier la conique S, sont harmoniquement circonscrites à G.
On voit ainsi qu'une conique harmoniquement circonscrite à une conique donnée est circonscrite à une infinité de triangles conjugués par rapport à cette seconde conique.
Corrélativement, on peut énoncer le théorème suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que C soit harmoniquement inscrite à S est qu'il existe une infinité de triangles circonscrits à C et conjugués par rapport à S.
Ce qui revient à dire que C est inscrit à une infinité de triangles conjugués par rapport à S.
261. Application. Théorème (Faure). — Les cercles circonscrits aux triangles conjugués par rapport à une conique coupent orthogqnalement le cercle orthoptique.
Soient
S=z x'^-h î/2 — 2aa7 — 2?y -f- Y = 0,
C = a^u^ -t- 6«t?2 — 10» = les équations d'un cercle et d'une ellipse ; pour que le cercle soi t harmoniquement circonscrit à Tellipse, il fautqu'on ait
a^ -\-b'^'--( = 0, ce qui montre que la puissance du centre de Tellipse par rapport au cercle est égale à a^ h- b^, carré du rayon du cercle orthoptique ; le théorème est démontré.
Si cette condition est remplie, l'ellipse est harmoniquement inscrite au cercle ; il en résulte le théorème suivant :
Une conique étant inscrite à un triangle, la puissance de son centre par rapport au cercle conjugué du triangle est égale à a^-h b^,
262. Théorème de Steiner. — Le lieu des centres des coniques inscrites à un triangle pour lesquelles la somme des carrés des axes est constante est un cercle ayant pour centre le point de concours des hauteurs du triangle.
D'après ce qui précède, les centres de ces coniques ont même puissance par rapport au cercle conjugué au triangle qui a pour centre le point de concours des hauteurs. Il en résulte que le lieu est un cercle concentrique au cercle conjugué.
C'est le cercle conjugué lui-même qui constitue le lieu dans le cas où la somme des carrés des axes est nulle, c'est-à-dire si les coniques sont des hyperboles équilatères.
263. Le cercle orthoptique d'une conique a pour limite la directrice si cette conique se transforme en une parabole ; les théorèmes du numéro 261 peuvent alors s'énoncer :
Les cercles circonscrits aux triangles conjugués par rapport à une parabole ont leurs centres sur la directrice.
Les cercles conjugués par rapport aux triangles circonscrits à une parabole ont leurs centres sur la directrice, autrement dit, le point de concours des hauteurs d'un triangle circonscrit à une parabole est sur la directrice,
264. Soit PQR un triangle conjugué par rapport à une conique S, j'inscris une conique quelconque C dans le triangle PQR ; il existe alors un triangle inscrit dans S et conjugué par rapport à C.
SupposonsqueQ et R soient les points cycliques. S est une hyperbole équilatère de centre P, C est une parabole de foyer P ; il en résulte que le foyer d'une parabole conjuguée par rapport à un triangle coïncide avec le centre d'une hyperbole équilatère circonscrite à C9 triangle.
On en conclut que le lieu des foyers des paraboles conjuguées par rapport à un triangle coïncide avec le lieu des centres des hyperboles équilatères circonscrites au même triangle ; ce lieu commun est le cercle des neuf points.
265. A l'aide des considérations précédentes, on peut établir simplement le théorème du numéro 412, à savoir que si les triangles o.hc et a'h'c' sont conjugués par rapport à une même conique S, leurs six sommets sont sur une conique.
En effet, soit C la conique qui passe par les points a, ô, c, a', h' ; cette conique est harmoniquement circonscrite à S, donc la polaire de a' par rapport à S rencontre la conique C au point h' et en un autre point cî tel que le triangle a'h'c[ soit conjugué par rapport à S. H en résulte que c[ coïncide avec c'.
266. Réseaux taugentiels. — Étant données les équations tangentielles de trois coniques
^(m, V, w) = 0, fiu, V, w) = 0, fz{u, V, w) = 0,
on appelle réseau tangentiel relatif à ces trois coniques Tensemble des coniques définies par l'équation
Vi + V,-f-X3A3 = 0, (o)
où Xi, Xj, Xg désignent des nombres arbitraires.
Si Ton se donne une relation linéaire et homogène entre les nombres Xj, Xj, X3, de la forme
ajXi -h «2X2 H- ûTsXs = 0, l'équation (5) ne renferme plus que deux paramètres linéaires ; elle représente un faisceau tangentiel de coniques, et l'on dit que le faisceau appartient au réseau.
Parmi toutes les coniques représentées par l'équation (5), il en existe une infinité qui sont réduites à deux points ; nous allons démontrer que les droites joignant ces deux points, (droites qu'on appelle les droites doubles du réseau) enveloppent une courbe de troisième classe appelée la Cayleyenne du
réseau (du nom du géomètre anglais, M. Cayley, qui en a étudié le premier les propriétés).
Les coordonnées d'une telle droite vérifient les équations
àf,
df, . df.
dv
i ^-li + r
' <Jw ^ àw
àv
do
dto
Eu éliminant X„ Xj, Xj entre ces trois équations, on obtient
dfi àf, df^ du au du
dv dw
du àj,
âv àv
du àf,
ÔIO ôw
qui est l'équation tangentielle de la Cayleyenne.
267. Cette courbe est aussi Tenveloppe des droites dont les pôles par rapport à toutes les coniques du réseau sont en ligne droite. i
Considérons d'abord les trois coniques
les pôles d'une droite (m, v, w) par rapport à ces trois conifjues ont pour équations
ou ÔV ÔW
Ou ÔV
au ÔV mu
et pour que ces points soient en ligne droite il faut que l'équa-
COOBDONNÉES. — H 20
tion (6) soitvériflée, c'est-à-dire que la droite considérée soit tangente à la Cayleyenne.
Si cette condition est remplie, le point qui a pour équation
^iPl + >^2P, + X3P3 = 0,
c'est-à-dire le pôle de la même droite par rapport à une conique quelconque du réseau sera en ligne droite avec les points Pli Ps; Pa-
268. Revenons à Texereice résolu au numéro 188, et dans Téquation f[u, tj, to) = considérons X et R* comme variables ; cette équalion représente un réseau tangentiel défini par les coniques
f^ = au^ -h a'v^ -f- 2h'wu -f- ^h'uv = 0,
qui représente une parabole,
et /"a = w» -I- 1?2 = 0, /-g = w?3 = 0,
qui représentent respectivement les points cycliques et l'origine envisagée comme point double.
La Cayleyenne de ce réseau a pour équation
w[h"[u^ — t?^)H-(a' — a)uv — ft'fio] = ;
elle se décompose en un point, l'origine, ce qu'on pouvait prévoir, et une parabole P que nous avons étudiée. Cette parabole est donc Penveloppe des droites dont les pôles par rapport aux coniques du réseau sont en ligne droite.
Or le pôle d'une droite par rapport au point double est ce point lui-même ; par rapport aux points cycliques, ce pôle esta l'infini dans la direction perpendiculaire à la droite ; il en résulte que la parabole P est l'enveloppe des droites qui sont perpendiculaires aux droites joignant l'origine à leurs pôles par rapport à une conique quelconque du réseau.
On peut également montrer que les droites dont on demande l'enveloppe dans l'exercice 188 sont des droites doubles du même réseau (*).
Menons du point les tangentes OA et OB à une conique quelconque du réseau. L'ensemble des deux points A et B constitue une conique du réseau, donc la droite AB est tangente à la Cayleyenne.
Soit maintenant une tangente T à une conique quelconque du
(*) Voir Nouvelles Annales, 3« série, tome VIII, p. 331, un excellent article de M. Marchand sur ce sujet, auquel nous ayons emprunté quelques-unes des remarques qui suivent.
réseau, qui soit perpendiculaire à la droite joignant le point à son point de contact A. Le cercle de centre et de rayon OA appartient au réseau, il est tangent à la conique ; ce cercle et la conique admettent donc deux autres tangentes communes rencontrant la droite T en deux points H et H' dont Tensemble constitue une conique du réseau ; donc la tangente T est tangente à la Cayleyenne.
Enfin, les deux foyers (situés sur un même axe) d*une conique quelconque du réseau constituent une conique du réseau ; donc la droite joignant ces deux points, c'est-à-dire Taxe de la conique, est tangente à la Cayleyenne.
269. Théorème (Ghasles). — Deux faisceaux appartenant à un même réseau ont toujours une conique commune.
Soit, en effet, le réseau défini par Péquation
Vi-+- V2-hV3 = 0;
deux faisceaux appartenant à ce réseau seront déterminés par les deux équations
ttiXi -f- «2^2 -h 03X3 = 0,
bili + 62X2 -H Ô3X3 = 0,
qui déterminent toujours un système de valeurs pour Xi, X2, X3.
270. Considérons comme exemple le réseau défini par les trois coniques suivantes :
1» Un point double ;
2® Les points cycliques 1 et J ;
3" Une conique quelconque G.
Ce réseau est le même que celui que nous avons étudié au numéro 268, à cette différence près que la parabole est remplacée par une conique quelconque.
En combinant ces coniques deux à deux on a les trois faisceaux suivants :
1° Les cercles de centre ;
2° Les coniques homofocales à C ;
3» Les coniques tangentes à C aux points de contact G et G' des tangentes issues du point 0.
Il résulte alors du théorème précédent qu'étant donné un faisceau quelconque appartenant au réseau, ce faisceau contiendra une conique faisant partie des trois faisceaux cités plus haut.
En particulier, étant donnée une conique honiofocale à C, soit Cj , et une conique tangente à C aux points G et G', soit C2, il existera
un cercle de centre inscrit dans le quadrilatère des tangentes communes à Ci et à C3.
Supposons que la conique Ci se réduise aux foyers F et F' de la conique G et que la conique G2 se réduise aux points G et G' ; les droites FG, FG', F'G, F'G' seront tangentes à un même cercle de centre 0; on en déduit la relation
FG itz F'G = FG' dz F'G' ;
et comme les points G et G' peuvent être pris quelconques sur la conique, on en conclut que pour tout point M de la courbe, on a
FM ±1 F'M = constante.
Cette démonstration est due à Chasles.
