Ëtant donné un réseau taugentiel
XiA + V2 + ^sA = (5)
défini par les coniques ^ =0, /i = 0, fz = 0, on peut définir ce réseau par trois coniques quelconques appartenant à ce réseau, à condition que ces trois coniques ne fassent pas partie d'un môme faisceau tangentiel.
En effet, soient les trois coniques du réseau
oi = a,/; -f- «a/i 4- aa^ = 0,
?3 = ïiA H- TîA -h YaA = ; pour que ces trois coniques n'appartiennent pas à un même faisceau, il faut qu'on ait
Pi P2 P3 ^0.
Yi T2 Y3
Si cette condition est remplie, on pourra tirer /"i, A, ^ des équations précédentes et on aura
/i = «i^pi H- a2?2 -h as?3,
/*3=CiCpi -h CîCp2+C3<p3,
et en remplaçant dans l'équation (5), on aura pour équation gé-
nérale des coniques du réseau
272. Il n'existe pas en général de conique réduite à un point double parmi les coniques d'un réseau, car en écrivant que le premier membre de l'équation (5) est carré parfait, on a trois relations homogènes par rapport à Xj, X2, X3 qui, en général, n'ont pas de solution.
Pour qu'il existe un point double faisant partie du réseau (5), il faut et il suffit qu'on ait une identité de la forme
P désignant une fonction linéaire.
Cette condition exprime que l'une des trois coniques est bitangente à une conique du faisceau déterminé par les deux autres, et que le pôle de la corde des contacts est le point double P.
Si cette condition est remplie, la même propriété subsistera pour trois coniques quelconques du réseau, n'appartenant pas à un même faisceau,
?i =0, 02 = 0, cp3 = 0,
car d'après ce que nous avons vu au numéro 271, l'identité précédente pourra s'écrire
^l?l -H h^2 + ^3?3 = PS
et le pôle de la corde des contacts sera le même.
273. Application. — Considérons un réseau défini par deux coniques bitangentes /i = 0, /i = et par les points cycliques /•g = 0. Ce réseau a un point double P, pôle de la corde des contacts.
On peut, pour définir le réseau, remplacer les deux coniques fi et f^ par deux coniques ?i et «p2 homofocales respectivement à fi et /*2. il existera alors une conique bi tangente à fz, c'est-à-dire un cercle inscrit dans le quadrilatère des tangentes communes à «pi et «p2, et dont le centre sera le point P.
Supposons que l'on prenne pour coniques <pi et «Pa les foyers des coniques fi et /i ; en joignant les foyers de A aux foyers de f^
on aura un quadrilatère circonscriptible à un cercle ayant pour centre le point P,
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Si deux coniques sont hitangentes, les foyers de Vune joints aux foyers de Vautre déterminent quatre droites tangentes à un cercle ayant pour centre le point de rencontre des tmg entes communes. , Si laconique /i se réduit à deux points situés sur la conique fu on retrouve le théorème établi au numéro 270,
274. Réseaux ponctuels. — Étant données les équations ponctuelles de trois coniques
?i(a?, 1/, z) = , cpafo:, jy, z) z= , cp3(a?, ?/, z) = ,
Tensemble des coniques définies par Téquation
où fXj, fJi2, H^a désignent des nombres arbitraires, constitue ce qu'on appelle un réseau ponctuel de coniques.
Parmi toutes les coniques du réseau, il en existe une infinité qui sont réduites à deux droites, les points de rencontre de ces droites (les points doubles du réseau) sont situés sur une courbe du troisième degré qu'on appelle la ffessienne du réseau et qui a pour équation
dx
dx
àf3 dx
ày
ày
dç,
dz
âz
dz
Cette courbe est aussi le lieu des points dont les polaires par rapport à toutes les coniques du réseau sont concourantes.
275. Réseaux conjugués. — La relation linéaire et homogène la plus générale entre les coefficients de l'équation tangentielle d'une conique C exprime que cette conique est harmoniquement inscrite à une autre conique.
Si on assujettit cette conique C à être harnioniquement ins-
crite à trois coniques données ayant pour équations ponctuelles
?i(a^, !/i 2) = 0, (p2(a?, y, z) = 0, ^^{x, y, z) = 0, on aura trois relations linéaires et homogènes entre les coefficients de l'équation tangentielle delà conique C, et par suite ces coefficients seront fonctions linéaires et homogènes de trois paramètres ; il en résulte que Téquation générale tangentielle des coniques C sera de la forme
lifi{u, V, w)-hl2f2{u, u, i^) + VavW, v,w) = 0; (5)
toutes ces coniques font donc partie d'un réseau tangentiel, et elles sont harmoniquement inscrites à toutes les coniques du réseau ponctuel
I^i?i(^, y. 2) + {^2?2(ar, y, z) -h (l3?3(^, y, z) = 0. (7)
On dit que les deux réseaux sont conjugués ^^\ Une conique quelconque du réseau (5) est harmoniquement inscrite à une conique quelconque du réseau (7), et une conique quelconque du réseau (7) est harmoniquement circonscrite à une conique quelconque du réseau (5).
276. Soit une conique du réseau (5) réduite à deux points A et B ; la droite AB est tangente à la Cayieyenne du réseau, et les deux points A et B sont conjugués harmoniques par rapport aux coniques du réseau (7) ; il en résulte que ladroite AB rencontre les coniques de ce réseau en des points en involution.
On en conclut que Venveloppe des droites rencontrant trois coniques données en des points en involution est une courbe de troisième classe^ qui est la Cayieyenne du réseau langentiel conjugué du réseau ponctuel défini par les trois coniques données,
