Soit une conique du réseau (7) réduite à deux droites

(1) A. Clebsch. Leçons sur la Géométrie, traduction Benoist, tome 11, p. 250.

M. PicQUET emploie rexpression de contr avariants.

D et D'. Ces deux droites sont des sécantes communes à deux coniques Ci et C2 du réseau ; en leur adjoignant une conique quelconque C3 du même réseau, ces trois coniques Ci, Cj, C3 suffisent à définir le réseau. Dans ces conditions, la droite D rencontre ces trois coniques en des points en involution ; par conséquent la droite D, comme la droite D', est tangente à la Cayleyenne du réseau (5).

Il en résulte que la Cayleyenne (Cunréseau tangentiel est Venveloppe des couples de droites qui font partie du réseau ponctuel conjugué,

278. Corrélativement, le lieu des points tels que les tangentes issues de ces points à trois coniques données soient en involution est une courbe du troisième degré qui est la Hessienne du réseau ponctuel conjugué du réseau tangentiel défini par les trois coniques données,

La Hessienne d* un réseau ponctuel est le lieu des couples de points qui font partie du réseau tangentiel conjugué, ^^î

EXERCICES ET NOTES

1 . On considère deux triangles inscrits à une même conique et on leur circonscrit deux coniques bitangentes : enveloppe de leur corde de contact.

Si les deux coniques circonscrites sont homothétiques, leur corde commune passe par un point fixe.

Les deux triangles donnés sont conjugués par rapport à une même conique C, à laquelle sont harmoniquement circonscrites les coniques considérées Ci et Ca, et par suite toutes les coniques passant par les points communs à ces dernières ; en particulier les cordes communes correspondantes des coniques Ci et Cj sont des droites conjuguées à la courbe C. Par suite, si une de ces cordes

(1) Consulter sur ce sujet le chapitre vu du Traité de Géométrie Analytique, de M. H. PiCQUET. Nous avons d'ailleurs emprunté à cet excellent ouvrage quelques-uns des exercices qui suivent.

est double, ce qui a lieu pour deux coniques bitaugentes^ elle est à elle-même sa droite conjuguée ; elle est donc tangente à la conique C qui constitue Tenveloppe demandée.

Si les coniques Ci et C2 sont homothétiques, la corde commune à distance finie passe par le pôle de la droite de Tinfini, c'est-à-dire par le centre de la conique C.

2. Le lieu des centres des cercles de rayon donné, harmoniquement inscrits à une conique donnée, est une conique concentrique et homothétique à la conique donnée,

3. Lorsqu'une hyperbole équilatère est harmoniquement circonscrite à un cercle ou inversement^ celle des deux courbes qui est harmoniquement circonscrite passe par le centre de Vautre,

A. Le lieu des centres des cercles de rayon donné harmoniquement inscrits à une parabole est une parabole de même paramètre,

5. Étant données' les équations ponctuelles de trois coniques,

cpi = Aia?2 -h A, y 4- kW -H 2B11/3: -h 2B;-3:a7 + 2^\xy = 0,

cps = Asa?* -h =0,

on peut mettre sous une forme remarquable Téquation tangentielle de la Cayleyenne du réseau tangentiel conjugué du réseau ponctuel défini par ces trois coniques, c'est-à-dire Tenveloppe des droites coupant ces trois coniques en des points en involution.

La droite ux -\- vy -h wz =z sera tangente à la Cayleyenne si, jointe à une autre droite, elle fait partie du réseau

Kl?l + K2?2 + K3?3 = 0,

c'est-à-dire si Ton a l'identité

Ki?i + f^2?2 -H Ht3?8 = («^ + ^2/ + wz){u'x -h v'y -+- w'z)

fJLl Al -h [^2^2 -h [JL3A3 — tiU = 0,

H^iAi -h fi2Aj 4- fisAJ — vv' = 0,

IxiAÏ -h \hAl -h 113A3 — ww' = 0,

âi^iBi -h 211-232 -h 21X3B3 — vw' — wv' = 0,

2jjliB; -h 21X2B2 + 21x36^ — wu' — uio — 0,

2[iiBÎH-2[i2Bf4-2|JL3B3 — wt?' — r2«' = 0.

Kn éliminant |xi, ix^, i^s, W, v\ id\ on a

Aï

2Bi

2BÏ

2Bï

On verrait de la! même manière que le lieu des points d'où Ton peut mener des tangentes en involution aux trois coniques

fi = aiM« + a\v^ -h a^io^ -h 2bivw H- 2b\wu + 2b'[uv = 0,

c'est-à-dire la Hessienne du réseau conjugué, est

6. Un réseau tangentiel renferme en général quatre cercles dont les centres sont les sommets (Tun triangle et le point de concours de ses hauteurs,

1 , Lorsque trois hyperboles équilatères ont deux points communs y toute droite perpendiculaire à la corde commune les coupe suivant six points en involution.

8. Considérons un réseau ponctuel défini par trois coniques ayant deux points communs B et C. En prenant pour triangle de référence le triangle ABC, A étant un point quelconque, les équations des coniques s'écrivent

ttiX^ -h 2biyz 4- 26', zx H- 2&Ja?i/ = 0, ^2^:2 + 2622/- -h 2b^zx -\- 2blxy = 0, a^x^ H- 2bsy2 -h 2b'^zx -h 2blxy = 0.

Pour déterminer le réseau tangentiel conjugué, écrivons que la conique

au^ -h a't?2 -f- oL^w^ 4- 2^vtD -f- 2^'wu -h 2^''uv = ( t )

est harmoniquement inscrite par rapport aux trois premières ; on a

aia4-2&ip + 2ô;p'-h2ô;p'' = 0,

«2» H- 2Ô2P + 2&'2p' 4- 2bl^" = 0,

«3a H- 263P + 26JP' -h 2&JP'' = ;

résolvons ces équations par rapport à P, P', p'' ; on a des solutions de la forme

p = aÀ, P'=a'X, ^" = ^1%

X, X', X^ étant fonctions des coefficients des trois coniques données. L'équation (I) devient alors

OLU^ -h ol'v^ + OL^w^ -h 2a(Xi?io 4- X'iom + X^tfi?) = 0,

a, a', a" étant arbitraires, on peut donc considérer cette équation comme représentant le réseau tangentiel relatif aux trois coniques

w» -h 2\vw -+- 2'k'wu -+- 2V'Mt? = 0, t?2 = 0, w^ = 0, et la Cayleyenne de ce réseau a pour équation

(M4-X"o-f-X'to)rw? = 0;

elle se compose de trois points ; deux d'entre eux sont les deux points B et C, le troisième est le point par lequel passent les cordes communes qui dans deux coniques quelconques du réseau ponctuel joignent les deux points de rencontre autres que B et C.

Soit ce point ; on voit que le point est le pôle de la droite BG par rapport à toutes les coniques du réseau tangentiel.

11 résulte de là que les cordes qui divisent en involution les coniques du réseau ponctuel passent par le point 0.

Dans le cas particulier de l'exercice 7, ce point est à Tinfini dans la direction perpendiculaire à la corde commune.

On peut reconnaître aisément que, dans le cas général, la Hes. sienne se compose de la droite BG et d'une conique.

9. Supposons que les deux points B et G de l'exercice précédent soient les points cycliques ; les trois coniques données sont alors des cercles, et l'on sait que la Hessienne se compose de la droite de l'infini et du cercle orthogonal.

La Gayleyenne du réseau conjugué se réduit aux points cycliques

et au centre radical des trois cercles, qui est le centre commun de? coniques du réseau tangentiel.

10. Le lieu des centres des coniques d'un réseau tangentiel dont la somme des carrés des axes est constante est un cercle^ concentrique au cercle du réseau ponctuel conjugua. Cas où la somme des carrés des axes est nulle.

11. Note sur rhypocycloïde à trois rebroussements. — Dans un grand nombre d'exercices résolus et proposés nous avons souvent rencontré comme enveloppe d'une droite variable l'hypocycloïde à trois rebroussements.

Je me propose, dans cette note, de montrer comment on peut reconnaître cette courbe d'après son équation tangentielle, et comment on peut en déterminer les éléments.

Si l'on prend comme axes de coordonnées deux diamètres perpendiculaires du cercle fixe. Taxe Ox passant par l'un des points de rebroussement, l'équation de la tangente en un point de la courbe peut s'écrire

a? sm ^ + y ces -^ — -j sm ^ = ;

on le voit aisément en faisant r = — — dans l'équation de la

tangente à l'épicycloïde obtenue page 59.

En conséquence, pour qu'une droite

ux -h ry -h 10 = soit tangente à la courbe, il faut qu'on puisse déterminer <p en sorte qu'on ait les égalités

u 1? — 3io

sm -^ cos -^ R sm -^ En éliminant <p, on obtient l'équation

on reconnaît sous cette forme que la courbe est de troisième classe, qu'elle est bitangente à la droite de l'infini (Ex. 12, p. 54), les points de contact ayant pour équation

U^-\rV^ z=i 0,

c'est-à-dire étant les points cycliques.

Nous allons démontrer que, réciproquement, toute courbe de troisième clause qui touche la droite de Vinfini aux points cycliques est une hypocycloïde à trois rebroussements.

L'équation tangentielle générale des courbes de troisième classe touchant la droite de l'infini aux points cycliques est

w {u^ + 1?^ — 2wt? cos 0) -+■ o(w, v) = 0, (2)

6 désignant Tangle des axes de coordonnées, et ©(w, v) représentant un polynôme homogène du troisième degré en w et t?, par exemple

©(«, v) ^ au^ -+- huH 4- cuv^ -h dv^.

Pour établir notre proposition, nous transporterons d'abord Tori-

gine des coordonnées en un point (p, q) choisi de telle manière que

les tangentes issues de ce point à la courbe fassent deux à deux

des angles égaux à — » c'est-à-dire qu'elles puissent coïncider avec les

diagonales d'un hexagone régulier. Ensuite nous ferons tourner les axes de façon que Taxe des x se confonde avec Tune de ces tangentes, et nous verrons que l'équation de la courbe aura la même forme que l'équation (i).

En transportant l'origine des coordonnées au point [p, q), l'équation (2) devient

{w — up — vq){u^ -|- 1?2 — 2uv cos 6) 4- <p (w, r) = ;

les coordonnées des tangentes jk l'origine vérifient l'équation

— (up -+- vq)(u^ -h 1?^ — 2uv cos 6) -^ o (m, t?) = 0,

et leurs coefficients angulaires sont donnés par

— {pm — q){m^ -h" 2m cos -^ 1 ) + (9{m, *— 1) = 0. (3)

Cherchons maintenant lequation aux coefficients angulaires de trois droites, telles que l'axe Ox fasse avec elles respectivement des

angles égaux a a, «-Hô- et ol-\- —-

Si m désigne le coefficient angulaire de la première, on aura

m sin 6 ___ 1 + m cos 6 — *^ °^ '

on en déduit, en introduisant le symbole imaginaire t, m (cos e + t'sin 6) j^ 1 ___ 1 H- 1 tg g m (cos 6 — i sin e) H- 1 "" 1 — î tg a

' — p2ia .

on aura pour les deux autres droites

me~»o -h 1 me~î8 -f- 1

Comme les cubes des trois seconds membres sont égaux à e®»«, on

voit que les coefficients angulaires des trois droites vérifient Téquation

\me-»« -h 1 / ou

g6ta(^,e-»« -h i)3 — (me«« -f- 1)3 = 0.

L'équation (3) devant avoir mêmes racines que cette dernière équation, on aura Tidentité

— {pm — q){m^ -h 2m cos 6 + 1) -h ^{m, — i)

^ h [e6»*(me-«« -h 1 )» — (me»« + \ )3].

En écrivant que les coefficients des mêmes puissances de m sont égaux, on déterminerait p, q, aei h; mais on peut calculer a sans déterminer p et g', il suffit de remplacer dans l'identité m successivement par les deux nombres — c«<» et — e~*S qui annulent m2 -f-2mcos 6 + 1 ; on obtient

cp(— e»e, 1 ) = A{| e2»e)3 ,

o(—e-i\ — 1) = /jô«»»(l — e-2»«)3.

On déduit de là sans peine, après quelques réductions faciles, et en se souvenant que ^{u,v) est homogène et du troisième degré,

9(i,e-«e) "" Si sin3 e '

On en tire

1 + 1 tg 3a g -4- be*^ -+- ce^'^ + de^'^ 1 — t tg 3a — a -f- &e-«« + ce-^»» -|- de-3»e '

— ^ sin 6 + c sin 29 + d sin 39 ^ ^ ^ a -h ô cos ô 4- c cos 26 -h c^ cos 30 *

L'identité qui précède devient alors, en remplaçant h et e^'» par ces valeurs,

— {pm — q){m^ -\- 2m cos 9 -h 1) + cp(m, — 1)

^ 8isin3 9 ^?^^' e««Xme-»«-hl)3-(p;i, e-^^^me^^ ^ i)^] ;

le second membre pouvant s'écrire, développé,

.g [m3[a(4 sin2 9 — 3) — 26 cos 9 — c] + 3m2((i — J — 2a cos 9)

+,3m(c — a -4- 2cï cos 9) + & -h 2c cos 9 + d(3 — 4 sin^ 9)] .

En égalant les coefficients de m^ et les termes indépendants, on obtient les valeurs de p et de q,

3a + c -h 2Ô COS e

4 sin2 e 3£/ + 6 -h 2c COS 6

^ 4 sin^ô

Nous obtenons ainsi le centre de l'hypocycloïde et les directions des tangentes aux points de rebroussera en t.

En tenant compte de ces transformations, Téquation tangentielle de la courbe peut s'écrire

w[u^ H- 1?2 — 2mi? COS e) + ^[e««»iMe"»«— î?)3 — (we'e — vf] = 0. Prenons maintenant pour axe des x' une droite Ox' telle que (Oa?, Ox') = a, et pour axe des y' une perpendiculaire à Ox', telle que

{Ox',Oy) = l' Les formulea de transformation de coordonnées sont les formules (4) de la page 32, où l'on fait p = «H--^- et X = 1 ; on a

u =z u' COS a — v' sin a , V =z u' COS (6 — a) -h t?' sin (6 — a), w =z w'.

On voit aisément en faisant la substitution dans l'équation que ^2 H- i?2 — 2uv COS 6 se transforme en (u'^ -+- v'^) sin^ o ; d'autre part, on trouve

Me~»« — V =. — sin 6e~*»(m'-f-v')> ue*^ — 1? = — sin ee»*(— iu' -\-v'); enfin, on a

Le radical est égal au module de l'expression cp(1, e»e); soit A ce module, on aura

A = v/(a-f- b COS ô-hc COS 26-hd cos 'Sbj^-^^b sin e+csin 2e-f-cJ sin 36)^,

et l'équation de la courbe s'écrit

^ ' 4 sm2 e ^ ^

En comparant avec Téquation (1), on voit que cette équation représente une hypocycloïde à trois rebroussements, dont le rayon R du cercle fixe est donné par

j^^ 3A 4 sin^ 6 En résumé, on voit que l'équation

w (m2 -j- ^2 __ 2uv COS 6) -h au^ -h àuH + cuv^ -hdv^ =

représente une hypocycloïde à trois rebroussements ; son centre a pour coordonnées

3a 4- c -4- 2ô cos 6

4 sin2 6 3d4-ô-f-2c cos e

4 sin2 e

le rayon du cercle fixe est égal à

- — r-s— i/(a+&cos e + ccos 2e+dcos Zb^-^ib sin e-K sin 26-heï sin 36)^ , 4 sin^ 6

et Taxe des x fait avec les tangentes de rebroussement les angles a

définis par la relation

__ ^ sin 6 -}- c sin 26 + d sin 36

'^ ~" a + 6 cos 6 -i- c cos 26 -h eï cos 36

Dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, on a

3a-hc 3dH-6

* . ^ — ^ tg 3a =

A titre d'exemple, reportons-nous aux exercices du Chapitre Jl, p. ol, et considérons d'abord Texercice 2. On trouve la courbe qui a pour équation tangentielle

w [u^ -f- v^) H- 4mv (olv -h Pm) = 0.

Cette courbe est une hypocycloïde à trois rebroussements, quels que soient a et p (et non pas seulement dans le cas où la corde AB est un diamètre, comme nous Tavons dit à tort).

Le centre de cette courbe est le point (a, P), c'est-à-dire le centre du cercle considéré dans l'exercice, le rayon R est égal à 3 v/a^ 4-?^, c'est-à-dire à trois fois le rayon du cercle donné.

On voit également (exercice 6) que la droite de Simson enveloppe une hypocycloïde à trois rebroussements; en appliquant les formules qui précèdent, on verra que le centre de la courbe coïncide avec le centre du cercle des neuf points et que le rayon R est le triple du rayon de ce cercle.

Ce résultat est dû à Steiner {Journal de Crell&y tome 53).

Préface .