Application. — Étant donnée une quadrique
on sait que l'équation du cône circonscrit à cette quadrique et ayant pour sommet le point (xo, î/o, 2o, U) est
Corrélativement, étant donnée la quadrique /*(w, u, w, r) = et le plan (wq, Vq^ Wq^ Tq), Téquation
est l'équation de la conique, section de la quadrique par le plan.
110 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
On pourrait obtenir par un procédé analogue bien d'autres formules relatives aux coordonnées tangentielles ; nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet, et dans les chapitres suivants nous établirons directement toutes les formules aumoyen des coordonnées tangentielles.
EXERCICES ET NOTES
1. Trouver les équations tangentielles d'un cône de révolution tangent à trois plans (wi, t?i, loi, n), («2, t?2, w?2, ^2) et (M3, ^s, w?3, r-i).
Pour qu'un plan
ux -^ vy -\- W2 -^ r =
soit tangent à ce cône, il faut d'abord qu'il passe par le sommet, c'est-à-dire par le point de rencontre des trois plans, ce qui donne la condition
t/i Vi wi ri Uî Vi ICi r-y
Uo t?3 103 n
En outre, nous écrirons qu'il existe une droite faisant le même angle avec les quatre plans ; si /, m, n désignent les paramètres directeurs de cette droite, on aura
ul-h'om-i-
îiil-j-Vim-\- i
U'il + vim -\- \
usl -+- vzm 4- i
On en déduit
wn =z sin ^^l'^ H- m^ -+- n- v^u=^ -h v^ -\- to%
<oin = sin 0^//^ -+- m^ -+- n^ sju\ -f- t?J -H w\,
D-in = sin ^\/l'^ + m^ -f- n^ )Ju\ jozn z= sin Oy^/^ ^ „^2 ^ ^2 ^^-i
+ t?^ + io|, -hvl-j-wl.
u V w sju^ + r^ H- 10^ Ui vi iCi ^u'l-{-vi-^wl
U-i t?2 W± \lul-^v\-\-wl
Us t?3 W?3 s/ui-hVl-hwi
Les équations (1) et (2) sont les équations tangentielles cherchées. Dans l'équation (2) les radicaux peuvent avoir un signe quelconque ; on en conclut qu'il y a quatre solutions.
SURFACES DÉVELOPPABLES 111
2. Trouver l'enveloppe d'un plan mené perpendiculairement à Vextrémité d'une droite passant par un point fixe, lorsque cette extrémité décrit une circonférence.
On écrit que la projection du point fixe sur un plan quelconque est sur la circonférence.
3. La surface développable qui a pour arête de rehroussement une courbe gauche unicursale d'ordre n est elle-même d''ordre 2n — 2. Sa classe est égale à 3(n — 2).
4. Trouver le lieu des sommets des cônes circonscrits à une quadrique et qui sont coupés par un plan suivant des cercles ; trouver aussi Venveloppe des plans de contact des cônes et de la quadrique.
Supposons que la quadrique soit un ellipsoïde ; menons par le centre un plan parallèle au plan donné, et prenons pour axes des x et des y les axes de la section du plan et de l'ellipsoïde ; enfin pour axe des z prenons le diamètre conjugué de ce plan par rapport à la surface.
L'équation ponctuelle de Tellipsoïde sera
a^ 0^ c* et son équation tangentielle
Le cône circonscrit à cette surface et ayant pour sommet un point M [x, y, z) a pour équations tangentielles
a^u^ 4- hH^ -\- c^w^ — r2 =r 0,
ux-\-vy -\-wz -\-r = 0,
et sa trace sur le plan xOy a pour équation tangentielle (69)
(«21/2 ^ ^2^2 ^2) -2 ^ ^2(1(07 -+- Vy -+- r)2 = 0.
Les axes Ox et Oy étant rectangulaires, pour que cette équation représente un cercle il faut qu'on ait (Première Partie, Géom, plane, n" iOl)
c'*xy — (c^ — Z')c^xy =z 0, ou, comme z ne peut être nul,
xy = 0.
412 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Le lieu se compose d'une ellipse et d'une hyperbole dont les équations sont
Soit ux -\- vy -\- wz -\- r = le plan de contact du cône et de l'ellipsoïde ; nous allons écrire que le pôle du plan par rapport à la surface est sur l'une des courbes trouvées plus haut.
Les coordonnées du pôle sont déterminées par les équations
on obtient donc
et
