Supposons que la surface S soit un cône ; alors tous les
106 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
plans tangents à ce cune passent par un môme point, qui est le sommet du cône.
Il en résulte que tous les points de la surface corrélative S sont dans un même plan, et par suite Téquation
représente une courbe plane.
Ce résultat peut encore être établi en remarquant que si l'équation
représente un cône, le premier membre /"(a?, ?/, z, t) est fonction de trois fonctions linéaires ; il en sera de même de f{u^ V, iv^ r), ce qui montre (37) que l'équation
représente une courbe plane.
82. Plus généralement, supposons que la surface 1 soit une surface développable ; alors les coordonnées de ses plans tangents sont fonctions d'un seul paramètre. A tous ces plans correspondent des points dont les coordonnées sont fonctions d'un seul paramètre ; donc tous ces points sont situés sur une courbe, et l'équation
f{n^ V, îv^ r) =
est l'équation tangenlielle de cette courbe.
On peut d'ailleurs trouver la condition analytique pour qu'une surface soit développable.
L'équation du plan tangent en un point d'une surface est
en posant .
âz âz
Pour que le plan tangent ne dépende que d'un seul paramètre, il faut et il suffit que les trois quantités
p, q, z^px—qy
soient fonctions de Tune d'entre elles, c'est-à-dire que Ton ait
z—px — qy = f{p),
On en déduit, en appliquant le théorème du numéro 47, la condition bien connue
\dxdy) ~~'âx^ ' liy^ ~
Si cette condition est remplie, et si l'on considère l'équation
tangentielle
qui définit w comme fonction de u et de i; (en suppo^ sant r constant), on aura
[ôûdv/'^'dîiF ' ~dv^ ~~ ' et par suiteréquationtangentiellereprésenteraunecourbe(47).
83. Nous obtenons ainsi un résultat fondamental. A une surface développable correspond dualistiquement une courbe gauche si la surface n'est pas un cône, et une courbe plane si la surface est un cône.
Aux plans tangents à la surface correspondent les points de la courbe ; à toute génératrice de la surface, intersection de deux plans tangents infiniment voisins , correspond une tangente à la courbe joignant deux points infiniment voisins; aux points de la surface correspondent les plans tangents à la courbe.
A l'arête de rebroussement de la surface correspond la surface développable engendrée par les tangentes à la courbe gauche ; aux points de l'arête de rebroussement correspondent les plans osculateurs de la courbe.
84. On peut encore remarquer qu'étant donnée une courbe définie par deux équations ponctuelles
408 COORDONNÉES TANGENTIELL^S. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
cp(x, 1/, z, t) = 0,
il lui correspond la surface développable définie par les deux équations langentielles
cp(t«, V, w^ r) = 0.
On a réquation tangentielle de la courbe (33) en éliminant a?, y, 2, t entre les équations
cp(x, y, z, ^) = 0,
et Ton a l'équation ponctuelle de la surface (66) en éliminant w, u, ii;, r entre les équations
f{u, V, IV, r) = 0,
il y a, comme on le voit, analogie complète.
Si Tune des deux équations (1) est du premier degré, la courbe est plane ; Tune des équations (2) est aussi du premier degré et la surface développable est un cône, dont le sommet correspond au plan de la courbe.
85. Dans le tableau qui suit et que nous empruntons à Clebsch*, on a mis en face les uns des autres les noms des figures qui se correspondent dualistiquement.
* Vorlesungen ûber Géométrie, Zweiten Bandes erster Theil, Leipzig,
Point.
Droite.
Ensemble de points en ligne droite.
Ensemble de points situés dans un plan.
Ensemble de droites situées dans un plan et passant par un point.
Ensemble de droites passant par un point.
Cône.
Génératrice du cône.
Plan tangent du cône.
Point du cône.
Surface non développable.
Tangente à la surface.
Plan tangent à la surface.
Courbe gauche.
Plan tangent d'une courbe gauche.
Tangente d'une courbe gauche.
Point d'une courbe gauche.
Droite rencontrant une courbe gauche.
Courbe gauche tracée sur une surface.
Courbe plane tracée sur une surface.
Plan.
Droite.
Ensemble de plans passant par une même droite.
Ensemble de plans passant par un même point.
Ensemble de droites passant par un point et situées dans un plan.
Ensemble de droites situées dans un plan.
Courbe plane.
Tangente de la courbe plane.
Point de la courbe plane.
Plan tangent de la courbe plane.
Surface non développable.
Tangente à la surface.
Point de la surface.
Surface développable.
Point d'une surface développable .
Génératrice d'une surface développable.
Plan tangent d'une surface développable.
Tangente à une surface développable.
Surface développable circonscrite à la surface correspondante.
Cône circonscrit à la surface.
