Démontrer qu'étant donnée la droite
abc où X, y, 2, a, by c sont fonctions d'un paramètre, la condition nécessaire et suffisante pour que cette droite engendre une surface déve-
loppable est
abc
7. Étant donnée une courbe gauche, on peut déterminer la surface développable dont cette courbe est l'arête de rebroussement.
Si l'on veut l'équation ponctuelle de cette surface, on cherchera le lieu engendré par la tangente ; si l'on veut au contraire les équa-
SURFACES DÉVELOPPABLES 113
lions tangentielles, on identifiera l'équation du plan osculateur à la courbe avec l'équation
lox + ry + M?J -t- r =: 0, et on éliminera le paramètre entre les relations obtenues.
8. Trouver les équations tangentielles de Vhélicoïde développahle^ c'est-à-dire de la surface engendrée par les tangentes menées à une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit.
Les coordonnées d'un point de cette hélice peuvent s'exprimer en fonction d'une variable t de la manière suivante :
X =. a cos <, y = a sin f, z z= bt;
on en déduira aisément l'équation du plan osculateur et les équations tangentielles demandées.
9. Étant données trois droites dans V espace , il n'est pas, en général^ possible de construire un triangle ayant ses sommets respectivement sur les droites données et tel que chacun de ses côtés soit orthogonal à la droite passant par le sommet opposé. Faire voir que dans le cas où le problème est possible, il est indéterminé, et trouver l'enveloppe du plan du triangle.
Si Ton désigne par
a, ~ p, - Yt i*-^2, 3;
les équations d'une des droites, le point de rencontre de cette droite avec le plan
wa? H- ry 4- Mj^ 4- r = a pour coordonnées
ai + aipf, bi -\- Ptpi, Ci 4- YfPô
où l'on pose
uai -j- vb'x -h y^Ci + r
En écrivant que chaque côté du triangle déterminé par le plan est perpendiculaire à la droite qui passe par le sommet opposé, on obtient les trois équations
P2 P8 Sgi(a2 — «s) __ «
£8 pi S«2(a3 •— qi) f. \ .
Pl p2 Sgs(fll fl^2) ç.
OÙ ron pose
et, par exemple,
2ai(«2 — «3) = ai(«2 — «3) -*- ?i(&2 — h) -+- yi(c2 — C3) .
En additionnant les trois équations obtenues, on a
Sgi(a2 — fl^a) S«2(a8 — ai) S^sC^i— C2) ^.
c'est la condition nécessaire et suffisante pour que le problème soit possible.
Si cette condition est remplie, le système (1) se réduit à deux équations ; il en résulte que le plan du triangle enveloppe une surface développable.
10. Etant données trois droites parallèles à un même plan ^ on considère tous les triangles dont les sommets sont situés sur ces droites et qui ont même centre de gravité G . Démontrer que les plans de ces triangles enveloppent un cône du second ordre,
11. Démontrer que les plans normaux à une courbe gauche engendrent une surface déceloppable et que les génératrices de la surface passent par les centres de courbure de la courbe .
12 . Nous nous proposons d'expliquer dans cette note pourquoi on a appelé surfaces développables les surfaces qui ont deux équations tangentielles.
On dit que deux surfaces sont applicables Tune sur Tautre lorsqu'on peut établir entre les points de ces deux surfaces une correspondance telle que deux arcs correspondants quelconques aient même longueur.
Les coordonnées a?, y, 2 d'un point M d'une surface S sont fonctions de deux variables indépendantes u et v ; si le point M décrit une courbe sur la surface, v est fonction de u,
V = f(u), et si s désigne la longueur de Tare de la courbe décrite, on a
ds^ z=dx^~^ dy^ + dz'^.
Or
- dx du ^
. dx = -rr- du 4- ~- dv ,
Ou do
dy = -T^du + -^ dv, [dv = f'(u)du]
Ou 00
SURFACES DÉVELOPPABLES 115
dz = -r— du + -7— dn , Ou Oo
d'où
en posant
ds^ =. Edu^ + 2Vdudv -h Gd1?^
dx dx dy dy dz dz
du do du dv du dv
Considérons une seconde surface Si et désignons par â?i, y^, zt les coordonnées d'un point Mi de cette surface.
S'il existe une correspondance quelconque entre les points de» deux surfaces, telle qu'étant donnés x, y, z, xi, y^, Zi soient déterminés, on pourra supposer que les coordonnées du point Mi soient fonctions des mêmes paramètres u, v que les coordonnées du point M ; et cela de façon que deux points correspondants des sur* faces soient définis par un même système de valeurs de u et v,
A une courbe décrite par le point M correspondra une courbe décrite par le point Mi ; l'arc Si de cette dernière sera déterminé par ds\ = dx\ -\- dy\ -k-dz\
mi
ds\ = Eida2 , 2FirfMrft3 -h Gidr^,
p . àxj dxx dyi dyi dzi dzi du do du dv du dv
Pour que les surfaces soient applicables Tune sur l'autre, on devra avoir, quelles que soient les courbes correspondantes,
ds^ = ds\, c'est-à-dire
Edu^ -h 2Fdudo + Gdo^ = Eidu^ + 2Fidudv -i- Gtdv^ ;
et comme cette égalité doit avoir lieu quelle que soit la fonc-
dv tion f(u), et par suite quel que soit --r^ » on aura
E = El, F = Fi, G = Gi.
en posant
116 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — - GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE
Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les surfaces S et Si soient applicables Tune sur Tautre,
En particulier, pour que la surface S soit applicable sur un plan, il faudra qu'on puisse déterminer deux fonctions de u et de t?, a et p, qui seront les coordonnées d'un point du plan, et telles que Ton ait
d:^^ + dy^ + dz^ = doL^ + di^\
quelle que soit la valeur de -r— •
Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface soit applicable sur un plan est que cette surface soit dévelappable.
i^ La condition est nécessaire, — Supposons que la surface S soit applicable sur un plan ; on aura alors
dcc^ -h dy-^ + dz^ = d'y? 4- rfp« ;
on peut substituer aux variables m et i? les variables a et P; et comme Ton a
dx . dx .f.
il vient
, ds , àz ^
dz = -^d.+-^d^.
dx dx j dy dy ^ dz dz ^
Différentions ces trois relations par rapport à a et par rapport à
P ; on aura
dx d^x dy d^y ^ dz d^z ^ doL da2 "*" d% di? '^ d% d%^^ '
dx d^x dy d^y dz d^z ^ d^ di.^'^ d^ d^}^ d^ dT^" '
dx d^x dy d^y dz d^z
doL doid? ' dx doLd^ ' dx dxd? '
SURFACES DÉVELOPPABLES 117
dx d*x , dy
d*y dz d'z ^ doid? ' dp do^p '
dx d^x 1 dy
d*y dz ^dh dp^^d<t dp^-^'
dx d^x dy df>'d^^'^ dp
d^y dz dH „
d^x d^y d^z Les deux premières équations déterminent -r-j> j^ et -r-^ à un
facteur près en fonction des dérivées du premier ordre de x, y, z ;
,J en est de môme pour ^, ^ et -^^ et pour ^, ^,
^ ; on en conclut
doidp doLd?> dadp
et
d^x d^y dH
5^ d^ "MP d^x "~ d'y "" d^z W clp^ df'
On voit ainsi que le déterminant fonctionnel de deux quelconques
des fonctions -r— > -^> -r— est nul, donc ces trois fonctions sont doL doL doL
fonctions Tune de l'autre : il en est de même pour -tt- » -^ et -tt-
ap ap ap
Comme Ton a
dx
dx dy dy dz dz
ap '^ doL d^'^ doi dp " ' •
on voit que
ces six
dérivées dépendent d'un seul paramètre.
Or on a
dz dx dy da=-P-57 + « d.'
en posant
dz dx dy
dp=^dp+*ar
dz dz ^= dx' ^= dy'
Ii8 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE
il en résulte que p et q sont fonctions de ce même paramètre ; on a
P = ?{qu
•et la surface est développable.
2^ La condition est suffisante . — Considérons une surface développable ; prenons un point P{x, y, s) sur Tarète de rebroussement, menons la tangente en ce point à celte courbe ; soit M(xi^ 1/1, zi) un point quelconque de cette tangente défini par la valeur l du «egment PM. Nous supposerons que a?, y, z sont exprimés en fonction de Tare s de Tarète de rebroussement ; nous désignerons par s(, ^, Y les cosinus directeurs de la tangente PM, en rappelant que Ton a
dx Q dy __ dz
1 __ doL^ -h d?^ 4- d^^ R^ "" ds*
R étant le rayon de courbure au point P de Tarête de rebroussement.
Les coordonnées du point M de la surface sont fonctions des deux paramètres 5 et ^ ; ce point décrira une courbe sur la surface
«i l est fonction de s,
Cherchons la différentielle de Parc de cette courbe. On a
â/i = 07 -f- Za,
Zi=: Z-h ^Y,
d'où
dcci = rfa? + adl 4- Ida,
dyi = rfy-f-pd/4-Zdp, dzi = rfj -h ydl 4- Id-^, Faisons la somme des carrés; on a
dsl = ds^ 4- dl^ 4- 2dsdl 4- l^dx^ 4- d?^ 4- d^^),
en remarquant que
adx 4- ^dy 4- "^dz = J.v,
ada 4- ^^^ 4- Y^T = <^»
darfa? + d^dy 4- c^Y^- = ^• On peut encore écrire
l^ds^ ds\ = (ds + dl)^^^^'
Posons
ds
J** ds
SURFACES DÉVELOPPABLES li9
et considérons les deux fonctions
A = / cos (j -h I cos <i ds,
B = ^ sin (T -+- / sm (sds\
on aura
ds dk = — /sindcïj-i-cos jc^^ + cos cds = cos <s{ds-\-dl) — Z sm œ —
ds dB = ^ cos (Td(T+sin (Tc?/-4-sin (sds = ^\n <s[ds -^ dl) -^ l cos j -5-;
en faisant la somme des carrés, il vient
c'est-à-dire
ds\ = dk^ 4- ^B2 ;
le théorème est démontré ; A et B désignent les coordonnées du point du plan qui correspond au point (xi, yi, ^i) de la surface.
On voit ainsi qu'une surface développable p eut s'appliquer ou se développer sur un plan ; le mot de développable est entièrement justifié (*j.
(*) Nous avons emprunté cette démonstration au Cours d'Analyse de M. £. Picard (tome I, p. 425).
ds'^ dk^ + rfB» = (ds -i- dlf + ^* jr »
