Plans tangents par un point extérieur. — Considérons
d'abord une surface non développable ayant pour équation
tangentielle
Les plans tangents menés à cette surface par un point A(a, p, Y, S) seront déterminés par les équations f{u, V, w, r) = 0, )
«M -h pv 4- Y2^ -h Sr = ; )
il y aura une infinité de solutions ; tous les plans obtenus seront d'ailleurs les plans tangents au cône circonscrit à la surface et ayant pour sommet le point A.
Les équations qui précèdent sont les équations tangentielles de ce cône.
Si on élimine w entre les deux équations (1), on obtient Téquation tangentielle de la section du cône par le plan des xy (69) ; de même si on élimine r, on obtient Téquation
flu,v,w, ^ ^j=0, (2)
qui représente Téquation de la section d^i cône par le plan de rinfini.
Il en résulte qu'en adjoignant à l'équation (2) une équation
linéaire quelconque,
uol' -4- v^' H- wY -+- r^' = 0,
on obtiendra les équations tangentielles d'un cône parallèle au cône donné et ayant pour sommet le point (a', P', y', 8').
88. D'une manière générale, on peut obtenir aisément l'équation tangentielle de la section du cône par un plan quelconque Po (wo, vo, Wq, ro).
Pour qu'un plan P (m, v, w, r) soit tangent à la section, il faut que l'intersection des deux plans P et Po soit tangente à cette section, et pour cela il faut que par cette intersection on puisse faire passer un plan tangent au cône.
Les coordonnées d'un plan passant par l'intersection de P et de Po sont u -h Xw©, v -h /uo, w -h '^Wq^ r -+■ Xro ; il doit donc exister une valeur de X, telle que ces nombres vérifient les équations (1), c'est-à-dire telle que l'on ait
f{u -f- Xwo, V -H Xvo, w -h Iwo, r 4- Xr©) = 0, ol{u -f- Xmo) -+- P(v -f- Ivo) H- ^{w 4- Iwo) -h 8(r -h Xro) = ; de la deuxième on tire
"" ai/o H- P^o -h ^Wo -t- 8ro ou
X = — ^, Ao
en posant, pour simplifier l'écriture,
A = otw H- ^v -f- Y"' -+■ ^''» Ao = oLUo -f- ^Vo-^yWo -f- 8ro.
En transportant cette valeur de X dans la première équation, on a
J Aieo Auo -Awo Aro\
\ Ao Ao Ao Ao /
équation tangentielle de la section du cône par le plan Po.
89. Équation ponctuelle du c^De circoDscrit. — Considérons un plan tangent au cône dont les coordonnées vérifient les équations (1) ; ce plan touche la surface donnée en un point
dont les coordonnées homogènes sont /"«, /"i, /ï,, f'r. Enjoignant ce point au sommet A, on a la génératrice de contact du plan et du cône.
Les coordonnées a?, y, z, t d'un point quelconque de celte génératrice seront données par les relations
pip = A -+- ^«^
PV = A + ^f, , (3j
pz = /;i -h Xy, i
En éliminant w, t;, w, r, X, p entre les équations (1) et (3), on aura l'équation ponctuelle du cône circonscrit.
En multipliant les équations (3) respectivement par m, u, w^ r, on reconnaît que l'équation
peut se remplacer par l'équation
Mj? 4- î^î/ H- wz -H rf = 0.
90. Examinons le cas particulier où la surface donnée est de deuxième classe, son équation étant
/*(m, V, w^ r) ^ au^ -+- a'v^ -+- aV -+- 2bvw -+- 2b'wu -+- ^b"uv
-+- ^cur -h 2c' vr -f- ^c''wr h- dr^ = ;
on doit éliminer m, u, m;, r, X, p entre les équations
au H- ^"1; -h b'w -h cr 4- Xa — px = 0,
^"w 4- a'u -f- ^^^ -h cV -+- Xp — py = 0,
b'u -h bv-h a"w -+- c''r -H X^ — pz = 0,
eu 4- c'u -h c*2^ H- rfr -h XB — p< = .0,
au 4- Pu H- Yi(; -h Sr = 0,
xw 4- î/v 4- z!^ 4- fr = 0.
On obtient immédiatement comme résultat de l'élimination
